Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
XYX-1Y-1 = XQyQX-lQy-1Q = xyx^Q = qQ = Q^e?G/Q,
т. е. G/Q коммутативна.
Рассмотрим теперь цепочку коммутантов
G= Q0ZD Q1 ZD...ZD Qn^1ZD Qn ZD..., (1)
где каждое Qn — коммутант для Qnj. Если для некоторого т Qm = {е}, то говорят, что группа G разрешима. Если H — подгруппа разрешимой группы G, то для n-го коммутанта для H имеем (Qn)n c^ Qn- Поэтому каждая подгруппа разрешимой группы разрешима. Разрешимые группы всегда имеют коммутативные инвариантные подгруппы. Действительно, если Qm = \е\, но Qm-I Iе). ТО для любой пары X, у Є Qm-I ИМЄЄМ XyX^1If1 = Є, т. е. ху = ух.
ПРИМЕР 1. Пусть G — группа движений евклидовой плоскости R2. Каждый элемент g ? G может быть представлен в виде g = (а, А), где а — элемент группы трансляций T2, а А — элемент группы вращений SO (2). Групповое умножение задается формулой (см. пример 4.1)
(а, А) (а\ А') = (а + Aa', AA'), (2)
т. е. группа движений R2 — полупрямое произведение T2 х) SO (2).
Согласно (4.7) и (2), коммутатор элементов х = (а, Л) и у = = (a', А') совпадает с
q = (а, А) (а', Л') {а, Л)"1 (a', Л')-1 = (a + Aa' -а' - А'а, I) С T2.
Поэтому Q1 = Г2, Q2 = (0 /) = е, т. е. группа T2 х) SO (2) разрешима.
теорема 1. Каждая разрешимая связная группа JIu может быть представлена в виде произведения
G = T1T2--Tm Группы JIu
127
однопараметрических подгрупп Ti, где для любого k, 1 < /е т, множество
Gk = Tk+iTk+2... Tm является нормальной подгруппой в G.
Доказательство прямо следует из теоремы 1.2.2, и мы оставляем его читателю как упражнение.
Пусть К — множество всех элементов, порожденных коммутаторами
q = xyx'Y1, XQQ, у QG.
Как и в предыдущем случае, легко проверить, что К — инвариантная подгруппа в G. Рассмотрим последовательность инвариантных подгрупп
G = K0ZD K1ZD K2ZD...ZD Kn^ 1 ZDKnZD..., (3)
где К,1+1 — подгруппа в G, порожденная коммутаторами q = = хух'^у'1, X Q Kn, у Q G. Если при некотором т Km — Iе}» то говорят, что группа G нильпотентна. Из определения следует, что подгруппа нильпотентной группы нильпотентна. Более того, так как Kn ZD Qn, п = 1, 2, ...,то каждая нильпотентная группа разрешима.
Каждая нильпотентная группа имеет нетривиальный центр. Действительно, если Km = Iе) > но Km1 О, то для любых X Q Km-I И у Q G имеем хух^у'1 = е, т. е. ху = ух.
Группа Ли нильпотентна, если она нильпотентна, как абстрактная группа.
Группа Ли проста, если она не имеет собственных связных инвариантных подгрупп Ли. Подчеркнем, что в противоположность к простым конечным группам простая группа Ли может содержать дискретную инвариантную подгруппу. Например, группа SU (п) имеет дискретную циклическую инвариантную подгруппу Zn порядка п, порожденную элементом
?=ехр ^suW- <4)
Однако все группы G1 — SU (Ii)IZi, где Zi — подгруппа в Zn, рассматриваются согласно определения как простые группы Ли.
Группа Ли полупроста, если она не содержит собственной инвариантной связной абелевой подгруппы Ли.
Б. Разложение Леви—Мальцева
Разрешимые и полупростые группы образуют два непересекающиеся класса. Действительно, каждая разрешимая группа Ли содержит иивариаитную абелеву подгруппу, тогда как пол у про- 128
Г лава 5
стая группа Ли не содержит такой. Теория групп Ли может быть сведена в некотором смысле к исследованию свойств разрешимых и полупростых групп. Действительно, имеет место
Теорема 1 (теорема Леви—Мальцева). Каждая связная группа JJu G локально изоморфна полупрямому произведению
N х) S, (5)
где N — связная максимальная разрешимая инвариантная подгруппа в G, a S — связная полупростая подгруппа в G.
Доказательство. Пусть L — алгебра Ли группы G. В силу теоремы 1.3.5 Леви—Мальцева L — полупрямая сумма N 4) S радикала N и полупростой подалгебры Ли S. Пусть N х) S обозначает связную группу Ли с алгеброй Ли NtyS, где N и S — связные подгруппы, соответствующие NnS соответственно (см. теорему 3.3). Тогда, согласно теореме 3.3, G и Af х) S локально изоморфны.
§ 6. Разложения Гаусса, Картана, Ивасаны и Брюа
В гл. 1, § 6, мы рассмотрели разложения Гаусса, Картана и Ивасавы для алгебр Ли. Теперь мы дадим соответствующие глобальные разложения для групп Ли.
А. Разложение Гаусса
определение 1. Топологическая группа g допускает разложение Гаусса, если g содержит подгруппы 3, D и Z, удовлетворяющие условиям:
1° Множества QD и DZ являются разрешимыми связными подгруппами в G1 коммутанты которых совпадают с 3 и Z соответственно.
2° Пересечения З П DZ и D П Z состоят только из единичного элемента и множество 3DZ плотно в G.
Из первого условия следует, что D — абелева подгруппа, а 3 и Z — разрешимы и связны. Второе условие означает, что почти каждый элемент g ? G имеет разложение вида
z. ?63, OGD, (1)
и если такое разложение существует, то оно единственно. Элемент g G G называется регулярным, если он допускает разложение (1), и сингулярным в противном случае.
теорема 1. Каждая связная полупростая комплексная группа JIu G допускает разложение Гаусса
G= 3Z?Z,
(2) Группы JIu
129
