Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
g*o3g = O3.
(3) Группы JIu
145
§ 2.3. Покажите, что элементы g Q SU (1, 1) могут быть записаны в виде
8 = Vtfj0 +UiO1-HsO2 + iu3o3, (4)
где IV QR и
vl - v]-vl-Ir vl (5)
§ 2.4. Покажите, что SL (2, R) состоит из тех элементов из SL (2, С), которые удовлетворяют условию
g*o2g = CT2t (G)
и могут быть записаны в виде
8 = Що0 + W1O1 f іш2о2 + W3O2, (7)
где Wil Q R.
§ 2.5. Покажите, что отображение
?-»f = pgc.
где
(8) (9)
р = ехр І ілrTj/4],
отображает SU (1, 1) на SL (2, R).
§ 2.6. Покажите, что каждый элемент g Q SO (3) может быть представлен в виде
?(ф, 0, ^) = Rz (т) Ry (6) ^г (1I5), (10)
Где О < ф С 2я, О с 8 < я, О < < 2я и
COS ф — Sin ф О Sin ф COS ф О
О О 1
, Ru(O)-
1 О
О COSf) О sin О
О
— sill 0
cos 6
(11)
— вращения вокруг осей г и у соответственно. Найдите геометрическое значение углов Эйлера ф, 6 и ?.
§ 2.7. Покажите, что группа SU (2) является двукратной универсальной накрывающей группой для SO (3).
Указание. Введите в R3 координаты стереографической проекции
Г)
2 Z
и комплексную переменную ? — g і h) и покажите, что вращение g в R3 предполагает проективное отображение
«Е + (' Vt -I - 6
(12) 146
Г лава 5
8
(13)
в С, где матрица
"а ?
Iv б.
является элементом группы SU (2).
§ 2.8. Покажите, что элементы g ? SO (3) могут быть параметризованы вещественными ортогональными ЗхЗ-матрицами R с матричными элементами
Rii = cos Йб; у + (I — cos 0) HiIil — sin Qeij knk,
з
і, j = 1, 2, З, 0 ^G ся, Ц nf = 1.
і=і
Покажите, что групповое пространство является шаром радиуса л (причем начало и поверхность шара отождествлены) или сферой S3 в четырехмерном пространстве с отождествленными противоположными точками.
§ 2.9. Покажите, что каждый элемент из SU (2) может быть записан в виде
и = exp (i -I^a3) exp (і -|-о2) exp (і
О < р 2л., О с ? < л, - 2л < v •< 2л.
Покажите, что углы Эйлера р, g и v являются координатами на S3.
§ 2.10. Покажите, в частности, что вращению g (ф, 6, ?) соответствует унитарная матрица вида
ехр (іф/2) О
О ехр (— іф/2)
exp(it|-/2) О О ехр (— іф/2)
cos0/2 і sine/2 і sin Є/2 cos е/2
X
COS
(6/2) exp (
. ф 4-ty
?- ф
) і sin (0/2) exp ^— і 2
і sin (0/2) exp (i ^2 ф ) cos (0/2) exp
Ф+гр
).
(14)
§ 2.11. Канонические уравнения движения классической механики
дН дН
-Pk' "лтгг = 4k,
Л = 1, 2, . . ., N,
dqk ~~ дрк
где H— гамильтониан классической системы, могут быть записаны в фазовом пространстве Rin координат
Pi, 1 с і С п,
Xi = qh X1
п+1 Группы JIu
147
«л. SH г- г
в матричнои форме как == Jx, где J — матрица
0 —/
1 О
а I — единичная пХп-матрица.
1. Найдите максимальную группу симметрий канонических уравнений.
2. Покажите, что эволюция канонических переменных задается однопараметрической группой симплектических преобразований.
§3.1. Пусть хTx—представление группы Ли G, заданное правыми сдвигами на Я = L2 (G):
T^ (у) = ^ (ух),
Определите вид инфинитезимальных генераторов как дифференциальных операторов первого порядка на Я.
§ 3.2. Пусть G = SO (р, q). Покажите, что генераторы алгебры Ли so (р, q) могут быть представлены в C3 (R''+'J) в виде
Lt:—* X г* X у *
' дх>
(15)
i, j = 1, 2, . . ., р или i, / = р -f 1, . . ., p + q,
г>1 і д . і д
В; — X -г -f- х' -г ,
' дхі 1 дх1 '
і=1, 2, ..., р, j = р + 1, ..., p+q,
и что они удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
ILij, Lrs] = SisLfr -f- SyrLb — бirLjS — SjsLir, \Bij, Brs) = SirLjs + + SiAs + SjsLin [Lii, = ^irBis + SjsBir - SirBjs - SlsBjr.
Покажите, что генераторы Lij образуют базис максимальной компактной подалгебры so (р) © so (q).
§ 3.3. Пусть G — связная группа Ли, {X,-}? — базис в лево-инвариантной алгебре Ли Lr группы G, a |Х,-)? — базис в право-инвариантной алгебре Ли Ll группы G. Пусть а = (аъ ..., ар), где а= 1, 2, ..., d — мультииндекс, и пусть
Xa = Xal . . . Xap, Xa = Xal . . . Xap. Пусть I а I обозначает порядок мультииндекса. Покажите, что Xa= ? Aap (X) Xp; (16)
IPKIal 148
Г лава 5
2) каждый дифференциальный оператор первого порядка P с коэффициентами из С" (G) может быть записан в одной из форм
Ij PaXa ИЛИ ? PaXa,
где А — [аар (X) ] — аналитическая матричная функция на G.
§ 3.4. Пусть и — бесконечно дифференцируемая положительно определенная функция на группе Ли G, и пусть К — элемент правоинвариантной обертывающей алгебры для G. Покажите, что (K+Ku) 0.
§ 5.1. Если R1 (а) — вращение вокруг оси х в R3 на угол а, R2 (?) — вращение вокруг оси у на угол ?, то коммутант q = --= Ri (a) R2 (?) Rr1 (a) RTi (?) для бесконечно малых углов является вращением вокруг оси г на угол а + ?.
§ 5.2. Покажите, что группа Ли Gn, соответствующая каноническим коммутационным соотношениям (KKC) в квантовой механике, заданным формулой (1.1.41), имеет следующий закон композиции:
(?, Л, 5)(Г, Л', s') = (g + r, л+ і/, exp(-inr)ss'), (17)
