Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
SL(и. С)--^__sU(/>,9), p + q — п, р ^ q. (2)
SU*(2n) '
SL(n, Cf
1. SU (p, q), p H- q = ti, p S= q — группа всех матриц из SL (п, С), которые оставляют инвариантной квадратичную форму
Z1Z1 + ' • - + ZpZp ~~ 2Vl2P+! — • • • — ZnZll (3)
в С". При q = 0 получаем унитарную группу SU (п) унимодуляр-ных матриц. Остальные группы SU (р, q), q 4= 0, могут быть названы псевдоунитарными группами.
2. SL (п, R) — группа всех вещественных матриц с единичным детерминантом.
3. SU* (2п) — группа всех матриц из SL (2п, С), которые коммутируют с преобразованием а в C'in, заданным формулой
а: (Z1,..., z2n) —>(zn+1,.. .,Z2n, — Z1..., — Zn). (4)
4. SL (п, C)R — группа SL (п, С), рассматриваемая как вещественная группа Ли.
Б. Группы, соответствующие алгебрам Bn:
SO(2n + l,C)--s—SO(p,q), p + q = 2n + l, p > q. (5)
SO(2/i +1, C)"
1. SO (2n I 1, C) — группа всех матрициз SL (2n + 1, С), которые сохраняют в С2п+1 квадратичную форму
ZiH-----Ь4+, (6)
2. SO (р, q), р + q = 2п H- 1, р Ss q — группа всех матриц из SL (2п H l, R), сохраняющих квадратичную форму
H- ""' Н~ хр — хр+1 — '"' — xZn+1- (7)
При q = О получаем компактную ортогональную группу SO (2п + 1). Остальные группы SO (р, q), q > 0, могут быть названы псевдоортогональными. 136
Г лава 5
3. SO (2n 1, C)R — группа SO (2n f 1, С), рассматриваемая как вещественная группа Ли.
В. Группы, соответствующие алгебрам Cn:
Sp (л) ^/^Sp (n,R)
Sp (и. С)----- SpO», 9), pH«/ -- л/, го > ,7.
SpO/, Г)"
(8)
1. Sp (п, С) — группа всех матриц из GL (2п, С), которые сохраняют в С2" внешнюю форму *)
zi а 2vh-i 4~ z2 a 2,1+2 + • ¦ • "h zn a z2,, •
(9)
2. Sp (р, 9) — группа всех матриц из Sp (п, С), которые сохраняют в С2" эрмитову форму
где
1W
-L
- L,
(10)
(H)
При <7 = 0 получаем компактную симплектическую группу Sp (я). Из (10) видно, что
Sp (п) = Sp (п, С) Г) L (2/г)
Sp (л, <7) = Sp (п, С) П L (2«, 2(7).
3. Sp (/г, /\) — группа всех матриц из GL (2п, R), которые сохраняют в Rin внешнюю форму
xi А л'п+1 }-•¦- -j- хп A X2n-
(12)
4. Sp («, С)" — группа Sp(n, С), рассматриваемая как вещественная группа Ли.
1) Внешняя форма определяется формулой (х Д у)1' — ~ (х'у1 — xhj ). Группы JIu
137
Г. Группы, соответствующие алгебрам Dn:
^^ SO(Zn) ^^ So'(Zn)
SO(Zn1C)--SO (р,9), P+ 4 = ZntPZIl. (13)
SO (ZnlCf
1. Определения групп SO (2п, С), SO (р, q), р |- q = 2п, р ^s q, SO (2/г, C)R следуют из определений Б. 1, Б. 2 и Б.З путем замены в соответствующих формулах индекса 2/г 1 на 2/г.
2. Группа SO* (2/г) является группой всех матриц из SO (2/г, С), которые сохраняют в С2" косоэрмитову форму
zlzn+l 4- гп+1г1 г2г/і+2 " I ' 2/1+2г2 • • • — ZnZ2n -j- Z2nZn. (14)
Д. Связность классических групп JIu
Мы показываем в гл. 5, что если группа JIn G /г-связна, то существуют /г-значные представления группы G. Следующая теорема дает описание свойства связности классических групп Ли.
Теорема 1. а) Группы GL (п, С), SL (/г, С), SL (/г, R), SU (р, q), SU* (2/г), SU (ft), U (ft), SO (ft, C), SO (ft), SO* (2ft), Sp (/г, C), Sp (/г), Sp (ft, R), Sp (p, q) связны.
б) Группы SL (/г, С) и SU (/г) односвязны.
в) Группы GL (/г, R) и SO (р, q) (О <С,° + <?) имеют по две связные компоненты.
(Доказательство см. в [390], гл. IX, § 4.)
В табл. 1 дается описание центра Z (G) универсальной накрывающей группы G компактных простых групп Ли.
Таблица I
с Z (G) dim С
SU (я) Zn H2-I
SO (In I 1) Z-I п (2п+1)
Sp (п) Z2 п (2я 1-1)
SO (2/1) Zi, если п нечетное п (2п—1)
Z2XZ2, если п четное
§ 8. Структура компактных групп Ли
Мы доказываем здесь замечательный результат, состоящий в в том, что любая компактная группа Ли является прямым произведением ее центра и конечного числа компактных простых нод-гругш. 138
Г лава 5
В гл. 1, § 2, Г мы определили компактную алгебру Ли L как алгебру, в которой существует положительно определенная квадратичная форма (-,-), удовлетворяющая условию
([X, Y], Z) + (Y, [X, Z]) = 0. (1)
Теперь мы докажем
утверждение 1. Алгебра Ли L компактной группы Ли G компактна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (X, X) — любая положительно определенная квадратичная форма на L (например, (X, X) = Ijx?. где Xi — координаты элемента X в некотором базисе).
Положим q>g (X) = [IgX, IgX), где IgX обозначает действие присоединенной группы в L, заданное формулой (3.29). При фиксированном g ? G q>g (X), как функция вектора X ? L, является положительно определенной квадратичной формой, в то время как при фиксированном X (pg (X) — непрерывная положительная функция на G. Поскольку G компактна, новая билинейная форма, определенная формулой
(X, X)' = J Cffi(X) dg,
G
является положительно определенной квадратичной формой на L. В силу инвариантности меры Xaapa при любом h ? G имеем
(lhX, IhX)' = J (lhgX, IhgX) Ag = J (lgX, IsX) dg = (X, X)', (2)
G G
т. е. ( •, • )' инвариантно относительно действия присоединенной группы. Взяв в (2) однопараметрические подгруппы h (tt), і = = 1, 2, ..., dim G, присоединенной группы и дифференцируя по t( при tt = 0 получим формулу (1).
