Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому X — касательный вектор к кривой exp ^X в t = 0. Неравенство (1) предполагает, что отображение t -> exp tX из R в G аналитично.
В некоторых случаях отображение X -»- exp X, X ? L, покрывает всю группу G (см. упражнения). Однако это имеет место не во всех случаях. Например, диагональная матрица в GL (п, R) 142
Глаза З
с отрицательными матричными элементами не может быть представлена как экспонента некоторой вещественной матрицы.
В применениях полезно иметь абстрактную формулировку понятия экспоненциального отображения. Она дается следующей теоремой.
ТЕОРЕМА 1. Пусть G — группа JIu, a L —ее алгебра JIu. Тогда
1. Для каждого XQL существует единственный аналитический гомоморфизм 8 (/) = ехр іX из ReG, такой, что
ехр (/ +- л) X = ехр tX ехр sX, (6)
ехр =n = X1 (7)
ехр OX = /. (8)
2. При X, Y Q L мы имеем
ехр tX ехр tY = ехр {/ (X + К) + 4" I*. У] + О (/3)}, (9) ехр (— tX) ехр (— tY) ехр tX ехр tY = ехр {/2 [X, F] + О (Z3)I, (10) ехр tX ехр tY ехр (— /X) = ехр {/К + /2 [X, 71 + 0(/3)}- (H)
В каждом случае О (/3) обозначает вектор в L со следующим свойством: существует є > 0, такое, что I3O (/3) ограничено и анали-тично при I /1 < е.
3. Существуют открытая окрестность N0 точки OeLu открытая окрестность Ve единицы е в G, такие, что отображение ехр является аналитическим диффеоморфизмом N0 на Ve.
(Доказательство см. в [390], гл. II, § 1.)
Пусть X1, ..., Xn — базис в L. Отображение
ехр (Z1X1 + • • • + tnXn) (Z1, ...,/„) (12)
из Ve на N0 задает систему координат на Ve, которая называется канонической.
Б. Разложение Тейлора
Пусть G — группа Ли, a L — ее алгебра Ли. Пусть X и X — левоинвариантное и правоинвариантное векторные поля соответственно, заданные формулами (3.39) и (3.40) и соответствующие элементу XQL. Тогда имеет место Группы JIu
143
ТЕОРЕМА 2. Пусть f — аналитическая функция на G. Тогда при ()</ «: 1 имеем
«» k
f(gexptX) = J^-y[Xkf](g), (13)
Jb=O
со
f(expfXg)[*/]&)¦ (14)
fc=0
(Доказательство см. в [390], гл. II, § 1.)
В. Теорема JIeeu—Мальцева для групп
Мы формулируем расширенный вариант теоремы 1 из § 5.
ТЕОРЕМА З (теорема Леви—Мальцева). Пусть G — связная группа JIu, a L = N S — разложение JIeeu—Мальцева ее алгебры Jlu, и Jf и § — аналитические подгруппы, соответствующие N и S соответственно. Тогда
G = JTxlS, (15)
где Jf — инвариантная подгруппа в G, а § — максимальная полупростая связная подгруппа в G.
Если G односвязна, то подгруппы Л' и § односвязны и для любого g ^ G разложение g = ns, где п А" и s С S, однозначно. (Доказательство см. в [184 1.)
Г. Унимодулярныс группы Ли
В применениях важно знать, является заданная группа Ли G унимодулярной или нет (см. 2.3). Следующая теорема дает перечисление групп Ли, о которых известно, что они унимодулярны.
ТЕОРЕМА 4. Следующие группы Ли унимодулярны:
1° Группы Ли G, для которых множество значений модулярной функции {А (х), X ^ G} компактно.
2° Полу простые группы Ли.
3° Связные нильпотентные группы Ли.
(Доказательство см. в [390], гл. X, § 1.)
Д. Меры на полупрямых произведениях групп Ли
ТЕОРЕМА 5. Пусть G = T х) К, и пусть dt и dk обозначают левоинвариантные меры Хаара на T и К соответственно. Тогда лсвоинвариантная мера Хаара на G имеет вид
. dt сі*
dS=W (16) 144
Г лава 5
а модулярная функция A0 (g) на G имеет вид
A0 (g) = Ar (/) A* (fc)/8r (fc). (17)
где функция бГ (/г) является однозначно определяемой положительной функцией, удовлетворяющей соотношению
Jnr1(O)Ctf = S^) J/(Qd/, f Є ЦТ, dt). (18)
г г
(Доказательство см. в [6131, гл. II, § 7.)
Формула (17) предполагает, что G — унимодулярна тогда и только тогда, когда T унимодулярна и б7 (/г) = Ak (/г).
Е. Библиографические комментарии
Понятие локальной группы Ли было введено Софусом Ли как инструмент для анализа свойств дифференциальных уравнений в частных производных (см. [523], часть III). Связь между локальными и глобальными группами Ли была впервые выяснена Картаном [161]; он доказал, что каждая алгебра Ли над R является алгеброй Ли некоторой группы Ли. Первое систематическое изложение теории групп Ли с глобальной точки зрения было дано Шевалле [182].
§ 11. Упражнения
§ 1.1. Пусть T1— фактор-пространство RlZ, где Z— множество целых чисел. Наделяем T1 естественной топологией фактор-пространства. Покажите, что если класс смежных элементов р ? ? T1 не содержит числа*1/,! или sI4, то функция sin 2лр может быть использована для определения системы координат (т. е. карты (U, sin 2яр)) в окрестности точки р. Если класс смежных элементов р не содержит 0 или 1I2, то функция cos 2яр тоже может быть использована с этой целью.
§ 2.1. Покажите, что каждый элемент g ? SU (2) может быть записан в виде
g = "о°о + 'ulIPk, (1)
где Ull ? R и удовлетворяют условию
"о+ И?+ НІ+ и!= 1, (2)
O0 = /, a Ok были определены в главе 1.1.А.
§ 2.2. Покажите, что SU (1, 1) состоит из тех элементов g ? SL (2, С), которые удовлетворяют условию
