Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
где абелева группа D связна, а группы QuZ односвязны и нильпо-тентны; 3D и DZ — максимальные связные разрешимые подгруппы в G. Множество сингулярных точек (дополнение к 3DZ) замкнуто и имеет меньшую размерность, чем G; компоненты б и z регулярной точки g ? QDZ являются непрерывными функциями от g.
Два разложения этого типа связаны автоморфизмом группы G, (Доказательство см. в [875], § 5.)
Проиллюстрируем эту теорему примером группы SL (2, С), которая является накрывающей группой однородной группы Лоренца.
Пример 1. Пусть G = SL (2, С). Пусть 3, D п Z — подгруппы в SL (2, С), состоящие из матриц вида
Г1 П Г б"1 01 Г1 01
S=[0 ij' 6= 0 б]' Z==[z lj
(3)
соответственно. Для простоты мы обозначили матрицы и соответствующие им комплексные числа одинаковыми буквами. Группа D изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, а каждая из подгрупп 3 и Z изоморфна аддитивной группе комплексных чисел. Сравнивая произведение ?6z и матрицу
g = ff" ^12J € SL (2, С), gug22 - g12g21 = 1,
Lёsi йгг\
проверяем, что каждый элемент g ? SL (2, С), для которого g22 -h 0, имеет единственное разложение вида
g = ?<ЕЗ, o(ED, (4)
где компоненты б и z определяются по формулам
Є = б = (5)
Пусть S = DZ; тогда для коммутантов имеем
S(I) = Z, S<2> =ZJ1) = {е\.
Следовательно, S — разрешимая группа. Подобным образом прот веряется, что К = 3D разрешима. Обе подгруппы связны, так как каждый элемент из S или К может быть достигнут непрерывно из единичного элемента. Множество матриц вида (4) плотно в SL (2, С), так как его дополнение, определенное условием g22 — = 0, имеет меньшую размерность, чем SL (2, С). Следовательно, разложение (4) представляет собой разложение Гаусса для SL (2, С). 130
Глава З
Замечание. Если мы предположим, что абелева подгруппа D состоит из диагональных матриц вида
6 =
бх 01 0 62]'
(6)
то, согласно определению 1, 3DZ дает разложение Гаусса группы GL (2, С).
теорема 2. Пусть G = sl (п, С), и пусть 3. D и Z — подгруппы в G, элементы которых имеют вид
Л
1 ?і2 ?із . . Sin
l S23 . . ?2 п
C =
0 1 Cll-1, п
1
~ 1
Z = z2i 1
_ znl Zn2
Тогда разложение
б =
б2 о
о
(7)
G = QDZ
и разложение
(8) (9)
G = ZD3
являются разложениями Гаусса для SL (ft, С).
доказательство. Прежде всего покажем, что для почти каждого элемента g G SL (п, С) существует элемент z ? Z, такой, что gz G К, где К — подгруппа всех верхних треугольных матриц с единичным детерминантом. Действительно, из определения подгруппы К следует, что все матричные элементы в gz под главной диагональю должны равняться нулю. Более того, zPq = 0 для р <ZquzPP = 1. Следовательно, условие gz ? К эквивалентно системе линейных уравнений
п
h qpszsq — 0 для р >9,
S=«
т. е. системе
H QpsZsq^ — gpq, p=*q+l,..., п.
s=q+1
(10) Группы JIu
131
При фиксированном q определитель, составленный из коэффициентов системы (10), совпадает с минором вида
ёд+1
(H)
вп> д+1 • * • Єпп
Следовательно, если gq?l не равно нулю, то система (10) имеет решение относительно zsq. Таким образом, почти все элементы g ? SL (п, С) могут быть представлены в виде g = kz. Теперь каждый элемент k ? К однозначно представляется в виде
k = Ш, (12)
Действительно, равенство (12) означает, что
kpq = Ipqbq (суммирование Отсутствует). (13)
В частности, для р = q t,pp = 1. Поэтому
\ = kpp, ?-. (H)
Таким образом, каждый элемент g ? SL (п, С), для которого миноры (И) при <7=1,2, ..., п — 1 не обращается в нуль, имеет разложение вида
г = Ш, (15)
Множество сингулярных точек, для которых по крайней мере один минор (11) обращается в нуль, имеет размерность меньшую, чем размерность группы SL (п, С). Следовательно, его дополнение 3DZ плотно в G. Итак, разложение (8) доказано. Легко проверить, что подгруппы 3, D, Z, 3D и DZ обладают всеми свойствами, сформулированными в теореме 1. Поэтому (8) дает желанное разложение Гаусса для SL (п, С).
Разложение (9) выводится подобным же образом.
Замечание. Явный вид непрерывных функций ? (g), 6 (g) и z (g) дан в упражнениях 11.6.1 и 11.6.2.
Компактные полупростые группы Ли не допускают разложения Гаусса, поскольку они не имеют разрешимых подгрупп. Однако для некомпактных полупростых вещественных групп Ли существуют некоторые аналоги разложения Гаусса. Действительно, имеет место
Теорема 3. Каждая связная полупростая вещественная группа Ли G допускает разложение
G = pZ> где D — прямое произведение
D = AQK 132
Г лава 5
односвязной абелевой группы А и связной полупростой компактней группы К, а группы QuZ нильпотентны и односвязны.
Множество сингулярных точек (дополнение к QDZ) замкнуто и имеет размерность, меньшую чем G. В разложении регулярной точки g = ?6z все компоненты 6 и z являются непрерывными функциями от g.
(Доказательство см. в [875], § 6.)
В.. Разложение Картана
Пусть L — вещественная полупростая алгебра Ли, и пусть
— ее разложение Картана (см. теорему 1.6.9). Существует глобальный вариант этого разложения, который описывается следующей теоремой.
