Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Если G1 и G2 — топологические группы, то прямое произведение G1XG2 также может рассматриваться как топологическая группа. Топология на G1XG2 является топологией произведения. Если G1 и G2 — группы Ли, то G1XG2 может рассматриваться как группа Ли, аналитическое многообразие которой является произведением аналитических многообразий групп G1 и G2.
Б. Полупрямое произведение
Пусть G — абстрактная группа, Ga — группа всех автоморфизмов группы G, G% — подгруппа в Ga, а Л (g) — образ элемента g Q G при аналитическом автоморфизме A Q G% (см. 1.1. В).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Полупрямым произведением Gx) G^ групп G и G^ является группа всех упорядоченных пар (g, А) с групповым умножением
(g, А) (Г, A') = (gA(g'), AA'). (6)
Единичным элементом в Gx) G^ является е = (е, /), а обратным к элементу (g, А) является пара
(g, Л)"1 = (A-1^r1)t Л"1). (7)
Топологией в Gx) G^ служит произведение топологий пространств G и G^.
Полупрямые произведения играют существенную роль в теории групп Ли и в теории представлений. Фактически, как мы покажем ниже, произвольная группа Ли локально изоморфна 124
Глава З
полупрямому произведению групп (см. § 5). Более того, все неприводимые унитарные представления важного класса полупрямых произведений групп могут быть получены как индуцированные представления (гл. 17).
Теорема 1. Полупрямое произведение G x)Gх с G = {(g, /)} и GA = \(е, Л)} имеет следующие свойства:
1) G — нормальная подгруппа в Gx) Gx,
2) GxjGxZG изоморфна Gx,
3) Gx)GA = GGx и GftGx = (е, /).
Доказательство. 1. Пусть (g', і) ? G и (g, A) є Gx) Gx, Тогда имеем
(Х w. 0(Х A)-i = (gA(g'). AHA-I(X1)1 Л"1) = = (XW)X1. /)€0.
т.е. G — инвариантная подгруппа в Gx)Gx.
2. Заметим, что множество (G, Л) при фиксированном A ? Gx представляет собой класс смежных элементов из Gx) GxIG. Поэтому отображение <р: (G, Л) (е, Л) является изоморфным отображением Gx)G^/G на Gx.
Свойство 3 следует из определения групп G и Gx и формулы (6).
Пример 1. Пусть а — четыре-вектор, а Л —- однородное преобразование Лоренца четырехмерного пространства Минковского. Преобразование Пуанкаре L = (а, А) определяется формулой
Xil = (Lx)u = Alxv 4- Qll. (8)
Произведение LL' = (a, A) (a', А') дает
Xp = (Lx)p = A^vJfv+ ЛХ + (9)
Таким образом, произведение (a, A) (a', А') может быть представлено как преобразование
(a, A) (a', А') = (а + Aa', AA'), МО)
т. е. закон композиции для преобразований Пуанкаре такой же, как формула (6) для полупрямых произведений. Следовательно, группа Пуанкаре является полупрямым произведением Ti х) х) SO (З, 1) четырехмерной группы трансляций Ti и однородной группы Лоренца SO (З, 1). Группа SO (З, 1) действует на Ti как группа автоморфизмов. Заметим, что Ti — инвариантная подгруппа в T4 х) SO (З, 1) и T4 х) SO (3, 1)/74 изоморфно S0 (3, 1). Группы JIu
125
Формула (10) может быть записана как матричное произведение, если мы представим (а, Л) в виде
Л <
(я, Л)
0
(И)
Пример 2. Пусть Rs — евклидово пространство, R — вращение, v и а — 3-векторы, ab — вещественное число. Преобразование Галилея g = (b, а, v, R) определяется формулой
х' = Rx -f vt -f а,
t' = t-\-b. (12)
Это определение имеет в виду следующий закон композиции для группы Галилея:
(b', а', R'){b, а, v, R) =
= (Ь' + Ь, а' + R'а + bv', v' + R'v, R'R), (13)
который является законом композиции типа полупрямого произведения. Он может быть записан как матричное произведение, если представить (b, а, v, R) в виде
Rva'
0 1 b 0 0 1
(14)
Обратным к элементу g является (b, а, V, R)1 = (—b, R"1 (а — — bv), —R1V, R'1). Эти формулы получаются из соответствующих преобразований Пуанкаре из предыдущего примера путем предельного перехода (х0 = et):
А„г—»0, с —>оо так, чтобы AolC-^vi,
(15)
а0 —> оо, с —> оо так, чтобы cijc —»Ь.
Предельному переходу (15) в алгебре JIh соответствует контракция, введенная в гл. 1, § 8, пример 2.
§ 5. Разложение Леви—-Мальцева
А. Разрешимые, нильпотентные, простые и полупростые группы JIu
Пусть G — абстрактная группа. Сопоставим каждой паре элементов х, у ? G элемент q = хух^у"1, который называется коммутатором элементов X и у. Множество Q всех элементов g ? G, которые представляются в виде g = qrq2 ... qm, где каждое q( является коммутатором двух элементов Xi, у[ ? G, называется коммутантом группы G. Коммутант D является инвариантной подгруппой в G. Действительно, произведение элементов q = qxq2 ... 126
Г лава 5
... qn и ц = q'\q% ... q'm является элементом из Q, и обратный элемент q~l = q'h ... q \ к q также элемент из Q. Более того, если g G G и q = ... qn ? Q, то
п п
g~lqg = П g^qig= П g^Xigg ^yigg^x^gg^yig Г- Q, 1=1 i=i
т. е. Q — нормальная подгруппа в G. Однако в общем случае Q не является топологической подгруппой (см. определение 2.2.2).
Взяв замыкание коммутанта Q в топологии группы G, получаем нормальную топологическую подгруппу.
Фактор-группа GIQ абелева. Действительно, если х, у ? G, a X = xQ и Y = yQ — любые два элемента из G/Q, то
