Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть 3 — отображение g -*- g'1 группы G на себя. Ясно, что, согласно определению 2.1, 3 — аналитический изоморфизм. Пусть X — любое левоинвариантное векторное поле, и пусть Fg = d Тогда F правоинвариантно. Действи-
тельно, обозначая правые инфинитезимальные сдвиги на G через dS, имеем
aZgYt = dZe(dJXe)=*d(2g°J)Xe. (36)
Так как (Sg°P7) отображает g0 в g^g^fe^go)1' имеем Ъй°с7 = = S "Sg-1 • Следовательно,
CiSfiKe = de7 (dQg-i Xe) = A3 (Xfi-i) = Kg. (37)
Наконец, для произвольного g0 имеем
^Sgofi-1Kg = dSgog-i (dSgFc) = d (Sgeg-I ° Sg) Ye =
= dSg0Fe = Fg0, (38)
т. е. F правоинвариантно. Поскольку отображение 3 аналитично, изоморфизм dd7 также аналитичен.
Теорема 1.1 предполагает, что правоинвариантная алгебра Ли может быть представлена дифференциальными операторами первого порядка, т. е. для X ? Ll имеем
= (39)
где tk (g) — координаты элемента g ? G.
Аналогично элемент F из Lr, сопоставляемый с правыми сдвигами (т. е. из левоинвариантной алгебры Ли), имеет вид
Y1 =bk{g(t)) -Jf. (40)
Ввиду утверждения 1 все функции ак (g) и bk ig), k = 1, 2, ... ..., dim G, аналитичны на G. Более того, [ввиду утверждения 2 функция Ьк (g) может быть выражена через ak (g) или, обратно, с помощью аналитического преобразования, определенного по dd7.
Е. Тождества в алгебрах Ли
Пусть L — вещественная алгебра Ли, a G — соответствующая связная односвязная вещественная группа Ли. В этом разделе мы выводим два тождества в алгебре Ли, содержащие элементы, Группы JIu
121
их преобразования при внутренних автоморфизмах, определенных элементами из G, и производные локальных координат второго рода относительно некоторого параметра.
Как известно, экспоненциальная функция е* реализует некоторую открытую окрестность единицы в G, если X пробегает некоторую открытую окрестность V нулевой точки в L. Если X1, ..., хг — базис в L, то V может быть выбрано достаточно малым, так что для любого X ? V имеем е* = е'Л...е'г*г (координаты второго рода), причем е* —>- (tlr ..., tr) является локальной картой в G для некоторой окрестности W единицы, содержащейся в ev. Кроме того, мы можем предположить, что W выпукла, т. е. такая, что если еу н ехеу лежат в W, то etxey ? W, где 0 -с t < 1; это следует из того факта (см. [390], стр. 34 и 92—94), что отображения t-*¦ -*¦ etxev являются геодезическими для связности Картана — Скоу-тена.
Таким образом, если е*?Н?и0<<<1,то е'* = е'Л... где координаты аналитичны по t.
Чтобы упростить обозначения, мы предположим (используя, например, теорему Адо), что алгебра Ли L точно реализована в виде матричной алгебры. Таким образом, некоторая окрестность единицы в G, содержащая W (и все произведения элементов из W, необходимые ниже), будет реализована как окрестность матричной группы.
Следовательно, из тождества
= ^xi +----Ь^Г^'".. . ..е ) е;* =
-= е" (e-'^ .. -e-^Xx-fr e^ • • -e^' + • ¦ • + находим
* = Iir X1H----+ ^rInt ('Л) • • • Int (X1-V1)
X == Int (— trxr) . .. Int (-4*2) X1-^L+...+X,-^, (41)
где Int (tx) обозначает внутренний автоморфизм Ad (е'*) алгебры L, определенный в любой реализации как у ->- eixye~tx. 122
Ґлат З
Более того, если х, у ? Lw е'Л e*ef ? IF, то, как мы видели, для Ocfcl etxey ? W. Тогда мы можем записать
e'V = є"1*' ... еа^, еу = (f''Xl ... e?r\ и из тождества
4- ((e'V) е-17) = 4" • • • e^'e-^r ... e~?,x') ==
= (x,^- + ••• + ea,Xl ... ea'-i*'-ixr... e-0"*')e'*
выводим соотношение
* == TT ----+ "ISTlnt (K1X1) ... Int (CV1X^1) xr. (42)
В дополнение, как xopomo известно, для всех х, у ? L и t ? R мы имеем
OO
е V" = Int (tx) у « 2 7ГГ (ad (^))?• <43>
л=О
§ 4. Прямое и полупрямое произведения
С помощью прямого и полупрямого произведений групп мы можем строить новые группы из заданных групп и сводить исследование некоторых более сложных групп к исследованию более простых подгрупп.
А. Прямое произведение
Определение 1. Пусть C1 и G2 — абстрактные группы. Группа всех упорядоченных пар (gu g2), ^1 ? G1, g2 ? G2, с законом умножения
(gl, &) (gl> &) == (glg'u ?l&) (I)
является прямым произведением G1QG2. Элемент е = (еъ е2) — единица группы G1XG2, а fe, g2)_1 = (gl1, ?21) — элемент, обратный (gl, g2).^
Подгруппа G1 группы G1XG2, состоящая из всех пар вида (gi> ег)> является инвариантной подгруппой в G1XG2, изоморфной G1. Действительно, для любого (g1; е2) и (gb go) ? G1XG2 имеем
(gl. gs) Ugl, es) (gl ?i) = (gi 1Sigl, ег)€0г Группы JIu
123
Этот изоморфизм задается отображением <р: gi —>- (glt е2). Аналогично Ga = i(elt g2)} —инвариантная подгруппа в G1XG2, изоморфная G2. Подгруппы G1 и G2 имеют следующие свойства:
G1G2 = G1XG2, (2)
G1RG2 = (^e2). (3)
Обратно, если группа G содержит две инвариантные подгруппы G1 и G2 со свойствами
G1G2 = G, (4)
G1RG2 = C, (5)
то G разлагается в прямое произведение подгрупп G1 и G2. Используя инвариантность G1 и G2 в G и формулу (5), легко проверить, что каждый элемент Q G1 коммутирует с каждым элементом g2 Q G2; ясно, что, согласно (4), каждый элемент g может быть однозначно представлен в виде произведения g = gxg2, gi (Е G1, g2 Q G2.
