Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
SO (2) = T1ZN, (25)
где дискретная центральная инвариантная подгруппа N совпадает с подгруппой всех целых чисел.
Другой пример: SU (2) односвязна, SO (3) двусвязна; они имеют изоморфные алгебры Ли, и SO (3) = SU (2)/Z2, где Z2 — дискретный центр в SU (2): Z2 = (е, —е).
Г. Присоединенная группа
Рассмотрим теперь группу Ли G и обозначим через L ее алгебру Ли. При фиксированном х ? G отображение
х\-х(У) = хух'1 (26)
определяет автоморфизм группы G.
Автоморфизмы вида (26) называются внутренними автоморфизмами группы G. Любой другой автоморфизм называется внешним автоморфизмом группы G. Каждому автоморфизму группы G соответствует автоморфизм алгебры Ли L. Мы можем вычислить явный вид индуцированного автоморфизма Ix алгебры L путем введения системы координат на G. Так как
Ух = ^х(у) = (хух~1у-1)у, то, используя координаты произведения хух_1у_1, получаем
Ух1 = c\kxlyk + у1 + E1 = (,CilkX1 4- hi) if + E11 (27) 118
Глава З
где є' имеют третий порядок малости относительно координат элементов х и у. Явный вид автоморфизма Ix алгебры L может быть вычислен, исходя из определения касательного вектора к одно-параметрической подгруппе у1 (/). Дифференцируя обе части соотношения (27), получаем при t = О
ас = CilkX1 а\ (28)
Ai = ClyiMfUo
— координаты вектора А = CiiX1 ^L в базисе Xf алгебры L. Тогда автоморфизм Ix алгебры Ли L имеет вид
(/*)* = Ckx', (29)
где Xі, I= 1,2, ..., п, — координаты элемента х ? G. Отображение h: X -»- Ix является гомоморфизмом из G в группу Ga всех автоморфизмов алгебры L. Очевидно, что ядро этого гомоморфизма совпадает с центром в G. Автоморфизмы (29) алгебры L, индуцированные внутренними автоморфизмами (26) группы G, называются внутренними автоморфизмами алгебры L. Все другие автоморфизмы алгебры L называются внешними автоморфизмами. Группа Ga всех внутренних автоморфизмов (29) алгебры L называется присоединенной группой. Покажем теперь, что алгебра Ли присоединенной группы Ga является присоединенной алгеброй La. Действительно, взяв однопараметрическую подгруппу Ix щ, из (29) находим, что координатами генератора
P = d Ix (()/d t |,=о
являются
Pi = Cikb1, где bl = Ax11 dt. (30)
Положив В = Hib1Xi, находим
P = ad Я, или P(A) = айВ(А) = [В, Л], (31)
т. е. P ? Lu. Размерность алгебры Ли La касательных векторов к однопараметрическим подгруппам внутренних автоморфизмов равна размерности присоединенной алгебры La. Поэтому La совпадает с La. По этой причине La также называется алгеброй внутренних дифференцирований.
Д. Левоинвариантная и правоинвариантная алгебры Ли
Пусть G — группа Ли. Пусть Qgo — отображение из G на G. заданное левыми сдвигами Qgo: g -> g0g. Из определения 2.1 группы Ли следует, что Qt,0 — аналитический изоморфизм из G на Группы JIu
119
G. Пусть dQgc обозначает дифференциал изоморфизма Qgo, определенный в § 1, Б. Из § 1, Б следует, что dQgc переводит касательное пространство Le в единице е в касательное пространство Lgo в g0.
Определение 2. Векторное поле X = {ATg, g Q G\ на G называют левоинвариантным, если для любых g, g' ? G
d?Vg-*g = *g'- (32)
Множество всех левоинвариантных векторных полей на G образует алгебру Ли. Действительно, если X и Y — любые два левоинвариантные поля, то очевидно, что аХ -I- ?F также лево-инвариантно; более того, в силу утверждения 1.2 имеем
d?gVx ([X, Fg]) = [d?gVx (X), dQg'e-i(Y)] = [X, Y]g., (33)
т. е. [X, F] также левоинвариантно. Левоинвариантная алгебра Ли порождается правыми сдвигами и, согласно теореме 1.1, реализуется дифференциальными операторами первого порядка. Обозначаем эту алгебру Ли через Lh.
утверждение 4. Каждое левоинвариантное векторное поле аналитично.
Доказательство. Пусть F1 — окрестность произвольной точки g0 ? G, и пусть Jf1, t2, •••> in]—система координат на G в окрестности точки g0. Существует окрестность V2 точки g0, такая, что условие g, h Q V2 предполагает, что gg0h~1 Q V1. Для g Q G из (1), (1:17) и (1.19) получаем
Xati = fdfi _jX Wi = X (t{ oil Л. (34)
8 1 ^ ggo go J 1 gt \l ggo J к '
Поэтому координаты ti (g, h) = tt (gg^h) аналитичны на F2XF2; следовательно, t'i (g, h) = ft (Z1 (g), ..., tn (g)\ J1 (h), ... ..., tn (h)), где функции (уъ ..., уп; Z1, ..., zn) аналитичны по всем 2п аргументам в окрестности множества значений yk = 4 (g0), Zk = tk (go), k = 1, 2, ..., п. Мы получаем
= (^0(?) |g,go. (35)
где индексы g, go означают, что частные производные взяты при Vk — 4 (g)> zk = 4 (go)- Теперь, согласно теореме 1.1, величины XgJj являются константами и (OfiZdzl) |g> go, рассматриваемая как функция от g, аналитична в g0. Поэтому функции Xgti аналитичны в g0 и, следовательно, векторное поле X = {Xg, g ? Gj также аналитично.
Утверждение 4 предполагает, что левоинвариантная алгебра Ли Lr группы G состоит из аналитических векторных полей на G, 120
Глава З
Аналогично можем ввести также правоинвариантные вектор' ные поля и показать, что они аналитичны и образуют правоинва-риантную алгебру Ли Ll.
Утверждение 5. Левоинвариантная и правоинвариантная алгебры Ли изоморфны. Этот изоморфизм аналитичен.
