Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5.2. Дайте классификацию неинтегрируемых представлений канонических коммутационных соотношений
[р> <71 = і/.
§ 6.1. Покажите, что функции
Ч>(*. <!, о, Ij) .охр! U (J !¦ 1)1 Da1X (<р, 6, ф) (16)
являются решениями уравнения теплопроводности на группе вращений SO (3).
§ 6.2. Найдите решения уравнения теплопроводности на группе Пуанкаре.
§ 7.1. Дайте полную классификацию дискретных вырожденных и полудискретных вырожденных серий алгебры Ли и (р, q).
§ 7.2. Пусть X — линейный оператор в гильбертовом пространстве Н. Найдите необходимое условие существования плотного множества аналитических'векторов оператора X в Н. Неограниченные операторы
451
§ 7.3. Покажите, что каждое неприводимое существенно косо-сопряженное представление вещественной конечномерной алгебры Ли, определенное на инвариантной плотной области в гильбертовом пространстве, интегрируемо.
§ 7.4. Дайте алгебраическую формулировку Ли аксиоматической квантовой теории поля.
§ 7.5. Найдите условия интегрируемости для представлений бесконечномерных (гильбертовых) алгебр Ли в гильбертовом пространстве.
§ 7.6. Покажите, что три серии самосопряженных неприводимых представлений алгебры Ли su (1, 1) ~ so (2, 1) - sp (2, R) ~ ~ si (2, R) могут быть построены с помощью операторов рождения и уничтожения следующим образом. Пусть алгебра Ли представлена формулами
2 = Аз — AL — А 2'
, а* = (аг, а|);
где ак, k = 1, 2, 3, — матрицы Паули и а = Ia,-, сі] ] = 6i, j = 1, 2. Рассмотрите векторы
I ф, /и) = N4mCix «"+"Ч* j 0), я, 10) = 0, і = 1, 2.
Тогда X3 |ф, т) = т | ф, m>, C2 | ф, т) = ф (ф + 1) | ф, т) и унитарными представлениями [ф (ф -f 1) вещественны, X,-эрмитовы] являются
1) дискретная серия D при ф < 0 и вещественном; для D+
т = — ф, —ф + 1, —ф ~f- 2, ...
и для D-
/и = ф, ф— 1, ф —2, ...;
2) дополнительная серия: U^e- при —1 +|?о1<Ф < | E01» -1 <|Е0| <-1-
т — E0, Eu -JZ I, En Jz ... і
3) основная серия D^a при ф =----~ + іст, о вещественны.
О глобальной форме этих представлений см. іл, 16,
