Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 152

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 >> Следующая


Теорема 1. Нетривиальное представление некомпактной алгебры JIu кососимметрическими операторами содержит по крайней мере один неограниченный оператор.

§ 10. Упражнения

§ 1.1. Покажите, что каждое кососимметрическое представление X —> T (X) алгебры Ли L в комплексном гильбертовом пространстве, имеющее общую плотную инвариантную область определения D, сильно непрерывно на D.

Указание. Наделите евклидовой топологией и используйте линейность представления.

V* § 1.2. Пусть G = SO (3) и H = L2 (S2, р). Покажите, что самосопряженные генераторы левого квазирегулярного представления TxU (s) = и (x~1s) имеют вид

(1) 448

Г лава 5

§ 1.3. Пусть G = SO (3), ф, Є, ф — углы Эйлера для GhW = = L2 (G, р). Пусть T — правое регулярное представление группы GbH. Покажите, что генераторы алгебры Ли so (3) имеют вид

Lx = — ctg o sin ф

sin Sin 0 д д(р + COS ф д дв '
cos ф д — Sin ф д
ch|) 1 sin 0 д(р 00 '

Zv = -CtgecosY7sr + _5іпфж, (2)

L = ± 2

Найдите область Гординга D0 в Н. Найдите генераторы левого регулярного представления Tl в Н.

§ 1.4. Пусть G = Ti х) SO (З, 1), и пусть H = L2 (Ri). Пусть T — левое квазирегулярное представление группы GbH. Найдите вид генераторов алгебры Ли Iі -?) so (З, 1) в Н.

§ 1.5. Пусть E (R2n) — пространство Шварца пробных функций на R2n. Пусть F (q, р) — функция на фазовом пространстве R2n,

которая лежит в E (R2n). Покажите, что оператор F, сопоставляемый с функцией F формулой

„ 1 / dF . OF \

= FSr^'W + 'nta)-

iy(f-f-ff). (3)

Z-J \ dqi dpi dpi dqi Г w

дает в пространстве E (R2n) представление алгебры Ли классических скобок Пуассона, т. е.

\FTG\-=-i[F, G]. (4)

§ 1.6. Пусть W — любая функция из E (R2n). Покажите, что отображение

F' = {W,F\ + F (5)

все еще дает представление алгебры Ли скобок Пуассона в пространстве E (R2n).

§ 1.7. Пусть о — каноническое преобразование в R2n, т. е. а: (р, q) —» (рс, qc). Пусть для произвольного F из E (R2n) величины F и Fc обозначают представление (3) в переменных (р, q) и (рс, q°) соответственно. Покажите, что существует унитарное преобразование LJ0 в L2 (R2n), такое, что

U0FUa1 = F0 для всех F. (6) Неограниченные операторы

449

§ 1.8. Пусть SF— пространство начальных условий (ф, я) для классического скалярного поляФ (х), удовлетворяющего нелинейному релятивистскому волновому уравнению

(? + т2) Ф (X) := лФ3 (*), /. -с о, (7)

Ф (0, х) = ф (х), (д,Ф) (0, х) = П (0, х) = я (х). (8)

Пусть F (ф, я) — гладкий функционал на начальных данных.

Покажите, что оператор F, сопоставляемый с F формулой

F — F = F-±DFl(<p, я)](ф, я)-

_i fdW —__-___^__M (9)

1 J \ 6ф (г) 6я (г) 6я (г) 6ф (z) )' ^ '

где Df — дифференциал Фреше в точке (ф, я), а б/бф и б/бя —¦ производные Фреше, дает алгебраическое представление классической алгебры Ли скобок Пуассона.

§ 1.9. Введите топологию в пространстве E (ZF) гладких функционалов на пространстве SF начальных данных и найдите класс

гладких функционалов, для которых отображение F—>F, заданное формулой (9), будет давать операторное представление. (Частное решение этой задачи см. в 1341.)

§ 1.10. Пусть Ф [х I ф, я] — решение уравнения (7), определенное начальными условиями (ф, я). Покажите, что операторы

Ф и П, сопоставляемые с Ф и П соответственно, формулой (9) при равных временах удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

[Ф(/, л), п (/, у)] = іб<3) (х — у), (10)

[Ф(*. х), Ф(/, у)\ = [П (і, л), fi(f, у) 1 = 0. (11)

§ 1.11. Пусть Ihl]" — ортонормальный базис в L2 (R3). Пусть

Ф (х) ~ H QJ1I (х) и л (х) = Л Pihi (х) — разложение канонических переменных (ф, я) по базису \ht]. Покажите, что формула квантования (9), записанная с помощью переменных \qt}™ и {Рц™, совпадает с формулой (3).

§ 2.1. Пусть G = SO (3). Покажите, что оператор углового момента J2, сопоставляемый в пространстве L2 (Rs) с квазирегулярным представлением Тли (у) = и (х~1у), имеет только неотрицательные целые собственные значения, т. е.

W%(r) = W%(r) с Я = У(У+ 1), J = O, 1, ..., (12)

тогда как в пространстве L2 (SO (3)) он имеет целые и полуцелые неотрицательные собственные значения. 450

Г лава 5

§ 2.2. Пусть T — представление группы T4 х) SO (З, 1) из упражнения 1.4. Найдите спектр оператора Казимира M2 = PllPtl. Покажите, что второй оператор Казимира S2 = WllWtl является тождественным нулем в Н.

§4.1. Пусть х — Tx — левое регулярное представление группы трансляций R в H = L2 (/?). Покажите, что функция

OO

и (X) = Ii 2 " [(X Г nf + п Л J1, XfzR, (13)

п—1

аналитична в Н, но не является аналитическим вектором для Т.

§ 4.2. Покажите, что и (х) — аналитический вектор для представления из 4.1, если ее преобразование Фурье и (р) для некоторого % > О удовлетворяет условию

ехр (КІРІ) u(p)?L2(R). (14)

§5.1. Покажите, что операторы

J+ = Jx + Uy = 22?- - 2^.

J_ = J>-\Jy-=-±t (15)

при К ? С образуют бесконечномерное представление алгебры Ли so (3) в пространстве аналитических функций, интегрируемых по мере Гаусса. Покажите, что алгебра Ли не может быть интегрируема до глобального непрерывного представления группы SO (3).
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed