Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Нетривиальное представление некомпактной алгебры JIu кососимметрическими операторами содержит по крайней мере один неограниченный оператор.
§ 10. Упражнения
§ 1.1. Покажите, что каждое кососимметрическое представление X —> T (X) алгебры Ли L в комплексном гильбертовом пространстве, имеющее общую плотную инвариантную область определения D, сильно непрерывно на D.
Указание. Наделите евклидовой топологией и используйте линейность представления.
V* § 1.2. Пусть G = SO (3) и H = L2 (S2, р). Покажите, что самосопряженные генераторы левого квазирегулярного представления TxU (s) = и (x~1s) имеют вид
(1)448
Г лава 5
§ 1.3. Пусть G = SO (3), ф, Є, ф — углы Эйлера для GhW = = L2 (G, р). Пусть T — правое регулярное представление группы GbH. Покажите, что генераторы алгебры Ли so (3) имеют вид
Lx = — ctg o sin ф
sin Sin 0 д д(р + COS ф д дв '
cos ф д — Sin ф д
ch|) 1 sin 0 д(р 00 '
Zv = -CtgecosY7sr + _5іпфж, (2)
L = ± 2
Найдите область Гординга D0 в Н. Найдите генераторы левого регулярного представления Tl в Н.
§ 1.4. Пусть G = Ti х) SO (З, 1), и пусть H = L2 (Ri). Пусть T — левое квазирегулярное представление группы GbH. Найдите вид генераторов алгебры Ли Iі -?) so (З, 1) в Н.
§ 1.5. Пусть E (R2n) — пространство Шварца пробных функций на R2n. Пусть F (q, р) — функция на фазовом пространстве R2n,
которая лежит в E (R2n). Покажите, что оператор F, сопоставляемый с функцией F формулой
„ 1 / dF . OF \
= FSr^'W + 'nta)-
iy(f-f-ff). (3)
Z-J \ dqi dpi dpi dqi Г w
дает в пространстве E (R2n) представление алгебры Ли классических скобок Пуассона, т. е.
\FTG\-=-i[F, G]. (4)
§ 1.6. Пусть W — любая функция из E (R2n). Покажите, что отображение
F' = {W,F\ + F (5)
все еще дает представление алгебры Ли скобок Пуассона в пространстве E (R2n).
§ 1.7. Пусть о — каноническое преобразование в R2n, т. е. а: (р, q) —» (рс, qc). Пусть для произвольного F из E (R2n) величины F и Fc обозначают представление (3) в переменных (р, q) и (рс, q°) соответственно. Покажите, что существует унитарное преобразование LJ0 в L2 (R2n), такое, что
U0FUa1 = F0 для всех F. (6)Неограниченные операторы
449
§ 1.8. Пусть SF— пространство начальных условий (ф, я) для классического скалярного поляФ (х), удовлетворяющего нелинейному релятивистскому волновому уравнению
(? + т2) Ф (X) := лФ3 (*), /. -с о, (7)
Ф (0, х) = ф (х), (д,Ф) (0, х) = П (0, х) = я (х). (8)
Пусть F (ф, я) — гладкий функционал на начальных данных.
Покажите, что оператор F, сопоставляемый с F формулой
F — F = F-±DFl(<p, я)](ф, я)-
_i fdW —__-___^__M (9)
1 J \ 6ф (г) 6я (г) 6я (г) 6ф (z) )' ^ '
где Df — дифференциал Фреше в точке (ф, я), а б/бф и б/бя —¦ производные Фреше, дает алгебраическое представление классической алгебры Ли скобок Пуассона.
§ 1.9. Введите топологию в пространстве E (ZF) гладких функционалов на пространстве SF начальных данных и найдите класс
гладких функционалов, для которых отображение F—>F, заданное формулой (9), будет давать операторное представление. (Частное решение этой задачи см. в 1341.)
§ 1.10. Пусть Ф [х I ф, я] — решение уравнения (7), определенное начальными условиями (ф, я). Покажите, что операторы
Ф и П, сопоставляемые с Ф и П соответственно, формулой (9) при равных временах удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[Ф(/, л), п (/, у)] = іб<3) (х — у), (10)
[Ф(*. х), Ф(/, у)\ = [П (і, л), fi(f, у) 1 = 0. (11)
§ 1.11. Пусть Ihl]" — ортонормальный базис в L2 (R3). Пусть
Ф (х) ~ H QJ1I (х) и л (х) = Л Pihi (х) — разложение канонических переменных (ф, я) по базису \ht]. Покажите, что формула квантования (9), записанная с помощью переменных \qt}™ и {Рц™, совпадает с формулой (3).
§ 2.1. Пусть G = SO (3). Покажите, что оператор углового момента J2, сопоставляемый в пространстве L2 (Rs) с квазирегулярным представлением Тли (у) = и (х~1у), имеет только неотрицательные целые собственные значения, т. е.
W%(r) = W%(r) с Я = У(У+ 1), J = O, 1, ..., (12)
тогда как в пространстве L2 (SO (3)) он имеет целые и полуцелые неотрицательные собственные значения.450
Г лава 5
§ 2.2. Пусть T — представление группы T4 х) SO (З, 1) из упражнения 1.4. Найдите спектр оператора Казимира M2 = PllPtl. Покажите, что второй оператор Казимира S2 = WllWtl является тождественным нулем в Н.
§4.1. Пусть х — Tx — левое регулярное представление группы трансляций R в H = L2 (/?). Покажите, что функция
OO
и (X) = Ii 2 " [(X Г nf + п Л J1, XfzR, (13)
п—1
аналитична в Н, но не является аналитическим вектором для Т.
§ 4.2. Покажите, что и (х) — аналитический вектор для представления из 4.1, если ее преобразование Фурье и (р) для некоторого % > О удовлетворяет условию
ехр (КІРІ) u(p)?L2(R). (14)
§5.1. Покажите, что операторы
J+ = Jx + Uy = 22?- - 2^.
J_ = J>-\Jy-=-±t (15)
при К ? С образуют бесконечномерное представление алгебры Ли so (3) в пространстве аналитических функций, интегрируемых по мере Гаусса. Покажите, что алгебра Ли не может быть интегрируема до глобального непрерывного представления группы SO (3).