Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
ft-i -f
1)- 442
Г лава 5
Теорема 1. Пусть Н,„п — линейное пространство, натянутое на векторы, соответствующие схемам, определенным формулами (12) и (13). Пусть действие операторов Akk, Ak_b к и Aki к_ъ k = 1, 2, ..., р q, определяется формулами
Аккт = (гк — гк„г)т, (15)
k—1
Ак,к_хт = H 4-і (т)т'к-и (16)
/і
а—і
Ak—11 km = H і (т) тІ-1,
/=і
где
4-і И
H і (т) =
Гп -- о, гк = H «»/ь /Є = 1, 2, . . ., //,
і----1
A' ft—2
П (lik — Ij, A1-I + J) П (/,', k-2 — lj,k l) 1=1__1=1_
П (/і, — //, + 1 ) (/і, к-і — lj, k-l)
іфк
k A-—2
П (/,ft - Ijt k-i) П Cii А- а — lj. fc-i - 1)
і - 1____Г-Л___
П (li, Zf-I — lj, k -і) (/,-, k- i — lj, k-l — ')
lik tnІк і,
0 при k р- j- 1,
1/2
1/2
(17)
(18)
(19)
(20) (21)
arg 4-і = arg =
-g- при k = p 1.
Тогда действие произвольного оператора Akt задается следующими формулами".
Akitn =E. Clkl ... І 1(m) тікІ ... ir к > I, (23) 4-і.....li
AklItl .=
s. \.....'V1H^r, ?, •
Ai ' * * 1-і к---1 І-1
к < L
(24)
где1)
CH1.
'¦•^^П.^И П.^. л;-/, (25)
S=/+1
8=/+2 4S-I1S -2
1) По определению произведение равно 1, если I = к — 1.
s=/+2 Неограниченные операторы
443
s=ft-bl s=A+2 's-l(s-2v '
at$ (tn) = ?,'s (m), (m) - b[s (m), (27)
("0 = [(/,s, - i,,t + і) - и„)Г > °> (28)
eIsI1 (m) — s'gn (^isS — 4tt), (29)
и is пробегает множество значений I, 2, ..., s. Схемы Щ
u m- - определяются инді/ктиено: 'к-~Ч-1
"4-, , - = («'н ¦ ¦ ¦ U-Ji/' k>1' m\...7І г =-
= (m~ ~ У'-1, k < /, (ЗО)
где
/и/ ffl-=m'!. (31)
1S
Операторы Akl удовлетворяют условиям эрмитовости (11) и коммутационным соотношениям (8).
Каждое самосопряженное представление алгебры и (р, q), р q --= п, определенное старшим весом тп = (т1п, ..., тпп) и типом (а, ?), неприводимо. Два представления унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их старшие веса и типы совпадают.
Доказательство этой теоремы включает только алгебраические вычисления, и поскольку они очень длинны, мы его опускаем. (Детали см. в [643].)
Множество самосопряженных представлений алгебры и (р, q), заданных теоремой 1, называется дискретной серией. Из формул (15), (23) и (24) очевидно, что общая плотная линейная инвариантная область определения D
в Hm для и (р, q) состоит из всех конечных линейных комбинаций базисных элементов т, определенных типом (12) и неравенствами (13). Ясно, что пространство D является также инвариантной областью определения для обертывающей алгебры E алгебры Ли и (р, q).
Разложение относительно подалгебр. Множества генераторов Aip i, j — 1, 2, ..., р + q— 1, определяет подалгебру и (р, q — 1) в и (р, q). Подалгебра и (р, k) может быть выбрана подобным образом в алгебре и (р, k -(- 1). Следовательно, мы, наконец, получаем цепочку уменьшающихся подалгебр:
и(р, q) ZD и (р, q - 1) ZD ... ZDu(p, 0) id ... id и (2, 0) з и (1, 0).
(32) 444
Г лава 5
Мы завершаем этот параграф следующими замечаниями:
а. Приведенное выше построение представлений разработано Гельфандом и Граевым в 1965 г. Они просто отгадали вид схем для и (р, q) и формулы действия генераторов Akk, Aki^1 и Ak^ltk в Нт',п на основе компактного случая и (п).
До сих пор не существует вывода ни структуры допустимых схем, ни формул действия операторов Akk, Akt и Ak_ltk.
б. Представления алгебры и (р, 1). Случай алгебры и (р, 1) рассмотрен более детально (Гельфандом и Граевым в 1965 г. и Оттосоном в 1968 г. [654]). Этот случай значительно проще, чем общий случай с q > 1, так как и (р, 1) имеет компактную подалгебру и (р) в роли максимальной подалгебры. Поэтому хорошо разработанная техника Гельфанда—Цетлина для и (р) может быть использована для анализа неприводимых представлений алгебры и (р, 1). Очень детальный вывод структуры схем для и (р, 1) и действия генераторов Akk,Ak_lk и Akt к_ъ а также классификации всех неприводимых унитарных представлений алгебры и (р, 1) дан Оттосоном [654]. Интересно, что в случае и (р, 1) получаем кроме дискретной серии представлений полудискретные серии, которые определены р — 1 дискретными параметрами и комплексным числом.
в. Вырожденные представления алгебр и (р, q). Тодоровым [810] было замечено, что существует дискретная серия так называемых вырожденных представлений, которые не содержатся в множестве дискретных представлений, рассмотренных выше. Действительно, если мы наложим ограничения
Щ, п = Щ+1, «=••• = Щ+г, п, r>q, (33)
на г соседних компонент «веса» тп, то получим
/г — /-Ca + ?Cp (34)
и, следовательно, получим новую дискретную серию представлений алгебры и (р, q). Более того, неравенства тап > тс/+1) „ и т„_р, п > іПц-іт, п могут быть нарушены. Полученные (й/7,)2 и (bjk)2, которые имели бы в общем неправильный знак для таких а и ?, здесь или обращаются в нуль (в силу большого числа неравенств для mlk), или могут быть переопределены таким образом, чтобы дать эрмитово представление алгебры и (р, q). Существует два интересных случая. В первом мы имеем
