Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Класс бесконечномерных топологических групп, которые часто встречаются в классической и квантовой физике, представляет собой интересный класс топологических групп, которые не являются группами Ли. Например, абелева группа градиентных преобразований классической электродинамики
где ф — скалярная градиентная функция, не является группой Ли, так как она не локально евклидова (см. пример 2.2.5).
Заметим, что определение 1 определяет фактически вещественную группу Ли. Ниже под группой Ли всегда будем понимать вещественную группу Ли, если не утверждается другое. Комплексные группы Ли определяются следующим образом.
f(x,e)=-xt, f' (є, у) -- //',
X = б/.
дх' (г. е) дУ' (е. е)
6{.
(2) (3)
Ai — Ai +
(4)
') Произведение VW обозначает подмножество в G, состоящее из элементов vw, її ? У, ш f I7. Группы JIu
109
Определение 2. Абстрактная группа называется комплексной группой JIu, если
1° G — комплексное аналитическое многообразие,
2° отображение (х, у) -+ху~г произведения GxG в G голоморфно.
Пример 2. Пусть G = GL (п, С). Матричные элементы Xіі Q QC, і, / = 1, 2, ..., п, матрицы х = {xl>\ Q GL (п, С) могут рассматриваться как координаты точки в С" . Так как множество X = \х: det X = 0} замкнуто в С"2 (см. пример 1), то GL (п, С) представляет собой открытое подмножество в Cn и, следовательно, является комплексным аналитическим подмногообразием в Cn Так же, как в примере 1, проверяется, что координаты z'i, і, /=1, 2, ..., я, элемента z = ху"1 являются голоморфными функциями координат Xts и ytu, I, s, t, и = 1, 2, ..., п.
Любая комплексная группа Ли комплексной размерности п может рассматриваться как вещественная группа Ли вещественной размерности 2п. Действительно, комплексное аналитическое многообразие комплексной размерности п может рассматриваться как вещественное вещественной размерности 2п, и голоморфное отображение (х, у) -»- ху'1 становится аналитическим отображением, если его рассматривать на этом вещественном 4п-мерном многообразии.
Заметим, что существуют истинно вещественные группы4 Ли, которые определяются комплексными матрицами, например, группы SU (2п), п = 1, 2, ...; они не могут рассматриваться как комплексные группы, так как они имеют нечетные размерности.
Определение 3. Пусть G — группа Ли. Говорят, что подмножество H с: G является аналитической подгруппой в G, если
1° H — подгруппа в G,
20H — аналитическое подмногообразие в G.
Аналитическая подгруппа сама является группой Ли. Действительно, имеет место
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Любая аналитическая подгруппа H группы Ли G является группой Ли.
Доказательство. Пусть а, Ъ Q H. Тогда ab Q H и существует локальная система координат (U, ф), ф (z) = (z1, z2.....z")
окрестности точки ab в G, такая, что Zi \ Н, і = 1, 2, ..., v, v = = dim H, образуют локальную систему координат окрестности точки ab в Н. Элемент ху Q G близок к ab, если хну близки к а и b соответственно. Это утверждение остается справедливым, если х
L) е" является комплексным аналитическим многообразием, определенным пространством Cn и декартовыми координатами. 110
Глава З
и у взяты из Я. Таким образом, отображение (л-, у) -> ху, ограниченное на Я x Я, аналитично. Аналогично можно показать, что отображение X -*¦ лГ1, ограниченное к Я, также аналитично. Поэтому аналитическая подгруппа Я группы Ли G является группой Ли.
Так как аналитические подгруппы Ли G сами являются группами Ли, то они обычно называются подгруппами Ли группы Ли G.
Аналитический гомоморфизм t х (t) группы R в группу Ли называют однопараметрической подгруппой в G.
Пример 3. Рассмотрим подгруппу GL (т, R), т <п, группы GL (я, R). Она представляет собой подмножество из GL (п, R), которое, согласно примеру 1, является аналитическим подмногообразием в GL (п, R). Следовательно, условия 1° и 2° определения 3 выполнены и GL (m, R), т <п, — подгруппа Ли в GL (п, R).
Следующая теорема дает удобный критерий того, что локально компактная топологическая группа является группой Ли.
Теорема 3. Локально компактная топологическая группа G является группой Ли, если существует непрерывный взаимно однозначный гомоморфизм G в GL (п, R).
(Доказательство см. в [597], гл. II, § 16.)
Например, группы О (n), U (п) (которая является подгруппой в О (2п)) и Sp (л) (которая является подгруппой в О (4п)) являются группами Ли.
А. Структурные константы
Пусть G — группа Ли, a (Vc, ф) — карта единичной точки е, такая, что ф (е) = 0. Рассмотрим разложения Тейлора функций композиции (1) в точке х!- = ус = 0. Используя формулы (1), (2) и (3), получаем
f = x'' + У1 -j- ClijkXhJk . l IlijklXiXkI)1 - i-ClijklXiу"у1 ..l гА, (5)
где
Числа
a)k
dfc
дх1 ду
(6)
C1ik = Ct1jk - alkj (7)
называются структурными константами. При переходе к другой системе координат
Xі —>х1' =Xi' (xft)
структурные константы подвергаются следующему преобразованию:
дх1' dxi dxk Группы JIu
111
Следовательно, c)k — тензор с одним контравариантным и двумя ковариантными индексами. Из формулы (7) следует также, что
