Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
1) Cik —вещественные числа,
2) для коммутативных групп c\k = О,
3)4 = -4, (8)
4) CpisCsjk + CpjAi 4- CpksClj = 0.
Последнее тождество является следствием ассоциативности группового умножения. Чтобы доказать его, прежде всего вычисляем, используя разложение (5), координаты элемента w = х (yz), а затем элемента w' = (ху) г. Сравнивая выражения третьего порядка, получаем последнее тождество.
ПРИМЕР 4. Для иллюстрации найдем структурные константы для GL (п, R). Функции композиции в этом случае (см. пример 1) совпадают с
Z4 = /'' (х, у) = X'" V''. Следовательно, используя определения (5) и (6), получаем
дГ< (х, у)
Clsm, kr :
дх*тду1
kr
¦ Os ЪтФ'п
Csm. kr = Kdmk&'r — Wrk O'm. (9)
Заметим, что структурные константы (9) для GL (п, R) совпадают со структурными константами для алгебры Ли gl (п, R) [см. (1.1.13)].
§ 3. Алгебры Ли групп Ли
Отправляясь от понятия групп Ли, мы установим теперь связь с теорией алгебр Ли, изложенной в гл. 1, введя понятие алгебры Ли группы Ли G.
Пусть T (е) — алгебра дифференцируемых функций класса С1, определенных в окрестности единичной точки е, и пусть X (t), а < t < b, — кривая, представляющая гомоморфизм класса C1 отрезка [a, b ] в G, такая, что х (0) = е. Вектор, касательный к кривой X (t) в е, является отображением A: T (е) ->- R, определенным формулой
Ii=O
В локальной системе координат {х1, х2, ..., хп\ окрестности точки е имеем
Af:
d/ (x(t)) d t
і=о
/=і
df дх<
xl=xl (с)
дх< At
(2)
/=I 112
Глава З
где
"х хі=хі{е)
а числа
а' =
OX1 (t)
At
/=1, 2.....П, (3)
являются компонентами вектора Л [см. (1.7)]. Ясно, что, согласно определению 1.3, вектор, касательный к кривой х (t) в е, является касательным вектором в е. Более того, каждый касательный вектор в е может рассматриваться как вектор, касательный к кривой. Действительно, если
п
А = ? a'Lj{e) /=і
есть любой касательный вектор в е, то касательный вектор к кривой
X1 (t) = Xі (е) + аН
в точности совпадает с HaiLj (е) = A.
Согласно теореме 1.1, касательный вектор (2) может быть представлен своими компонентами, т. е. в виде Л = (а1, а2, ..., а"). Из теоремы 1.1 мы знаем, что касательное пространство в е является л-мерным векторным пространством. Превращаем это векторное пространство в алгебру Ли, положив
с1 = [А, В}1 = c)kaibk, (4)
где структурные константы c)k заданы формулой (2.7). Действительно, из (4) и (2.8) следует, что
[аЛ + ??, С] = а[А, C] + ?[?, С], (5)
[А, В) = -[В, Л], (6)
[Л, [В, С]]+ [В, [С, A]] -J- [С, [Л, ?]l = 0. (7)
Полученная таким образом алгебра Ли называется алгеброй Ли группы Ли G. и" ,-.j
Если представить элемент Л алгебры Ли в некотором базисе векторного пространства L как Л = а1Х(, то из (4) и (5) получим
C = cilkatbkXi = \alXl, bkXk] = albk [X,, Xk],
т, е.
[Xi, Xk] = CilkXi- (T) Группы JIu
113
Пример 1. Рассмотрим группу GL (п, R). Однопараметриче-ские подгруппы могут быть записаны в виде
[g(lA»[i)]h = 6's + 6H6sft Xlk (t) (8)
(суммирований по і, k, I, s = 1, 2, . .., n нет) для «недиагональных» подгрупп и в виде
для диагональных подгрупп. Здесь индексы (i, k), і, k = 1, 2, ... ..., п, нумеруют различные подгруппы, а индексы I, s; I, s = 1, 2, ..., п, нумеруют матричные элементы группового элемента g(t7,< (t). Касательный вектор Л (,7,> к кривой из (8) и (9) имеет следующие компоненты:
(Л(,:Л))'5 = aablibsk, і, k, I = 1, 2, .. ., п, (10)
где
aik _ Ckffe (t)
dt
C--O
Формула (10) предполагает, что базисные векторы алгебры gl (п, R) заданы «Хп-матридами eik, і, k = 1, 2, ..., п, вида
(elkf = o"6sfe. (11)
Коммутационные соотношения для базисных элементов eik следуют из (4):
Iesm, ekr] = Csm, кгЧец. (12)
Используя выражение (2.9) для структурных констант группы GL (п, R), получаем
ksm> Єкг\ "= 6ш/Аг ' ^r?hrn (13)
(см. пример 1.1.2).
Заметим, что произведение Ли (13) для касательных векторов єип и Cfir совпадает с коммутатором I^s,,,,
екг J = es,nel r eItr^sin
соответствующих матриц. 114
Глава З
А. Группы преобразований
В большинстве случаев алгебры Ли появляются в теоретической физике как алгебры Ли групп преобразований.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Группа Ли G называется (правой) группой JIu преобразований дифференцируемого многообразия М, если каждой паре (р, х), р ^ М, X ^ G, соответствует элемент q (М, обозначаемый через рх, такой, что
1) отображение (р, х) ->-рх произведения MxG на M дифференцируемо,
2) ре = р для всех р ? M,
3) (PX1) х2 = р (X1X2) для всех р ? M и X1, х2 ? G.
Подобным образом определяется левая группа Ли преобразований (х, р) хр многообразия М.
Говорят, что группа G эффективна на М, если х = е — единственный элемент из G, который удовлетворяет условию рх = P или условию хр — р соответственно для всех р Q М.
Найдем теперь общее выражение для генераторов однопараме-трических групп преобразований.
Пусть (U, ф) — карта точки е, а (У, — карта точки р ? М. Условие 1 утверждает, что координаты ql точки q = рх являются аналитическими функциями
