Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
теорема 4. Пусть G — связная полупростая группа JIu с конечным центром. Алгебра JIu L группы G имеет разложение Картана (16). Пусть Ж— связная подгруппа в G, алгебра JIu которой совпадает с К, и пусть Si—образ векторного пространства P при экспоненциальном отображении. Тогда
(Доказательство см. в [167].)
пример 2. Пусть G = SL (п, R). Разложение Картана алгебры Ли L группы G является разложением произвольной матрицы с нулевым следом в сумму кососимметрической матрицы и симметрической матрицы с нулевым следом (см. пример 1.6.2). Связная подгруппа Ж группы G, алгебра Ли которой совпадает с К, состоит из ортогональных матриц. С другой стороны, множество Si является множеством унимодулярных эрмитовых матриц. Поэтому глобальное разложение (17) в настоящем случае совпадает е хорошо известным полярным разложением унимодулярной -матрицы в произведение ее эрмитовой и ортогональной частей.
В. Разложение Ивасавы
Пусть L — вещественная полупростая алгебра Ли, и пусть
L - КP
(16)
(17)
L = К + Hp + N1
(18)
— ее разложение Ивасавы (см. теорему 1.6.3). Глобальный вариант разложения (18) описывается следующей теоремой. Группы JIu
133
теорема 5. Пусть G — связная группа с алгеброй JIu L, и пусть Ж, Mp и Jf—связные подгруппы в G, соответствующие подалгебрам К, Hp и N0 соответственно. Тогда
G=nJCsitlJe, (19)
и каждый элемент g ? G однозначно разлагается в произведение элементов из Ж, Mp и Jf. Группы Mp и Jf односвязны.
(Доказательство см. в [390], гл. VI, § 5.)
Пример 3. Пусть L = si (n, R). Разложение Ивасавы (18) для si (п, R) представляет собой разложение произвольной матрицы с нулевым следом в сумму кососимметрической, диагональной и верхней треугольной, причем последняя с нулями на главной диагонали (см. пример 1.6.3). Итак, группа Ж — ортогональная группа SO (п), группа Mp абелева, а группа Jf нильпотентна и состоит из верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали. Следовательно, глобальное разложение Ивасавы (19) для группы SL (п, R) представляет собой разложение произвольной унимодулярной матрицы в произведение ортогональной, диагональной и верхней треугольной матриц, причем последняя с единицами на главной диагонали.
Г. Разложение Брюа
Пусть 'S = ЖMJf — разложение Ивасавы связной полупро-стой группы Ли S с конечным центром. Пусть Ж — централизатор алгебры Ли А группы M- в Ж, т. е. Ж = [к,?Ж : AdftX = X для каждого X из А]. Полагаем 9і = ЖМ-Jf.
Так как M и Ж нормализуют Jf, то 9і—замкнутая подгруппа в <8.
Подгруппа Si и подгруппы, полученные из нее сопряжениями в S, будут называться минимальными параболическими подгруппами в S.
Пусть LuA — алгебры Ли для SwM соответственно, и пусть W — группа Вейля пары (L, Л). Пусть Ж* — нормализатор алгебры А в Ж, т. е. Ж* = jk ? Ж: Ad^ cz А}. Очевидно, что Ж — нормальная подгруппа в Ж*. Группа Вейля W может быть отождествлена с фактор-группой Ж*!Ж.
Пусть Шщ — любой элемент из Ж*, лежащий в классе смежных элементов, сопоставляемом с w. Обозначим через їРхюїР двойной класс смежных элементов iPmtJP. Следующая лемма дает так называемое разложение Брюа группы S.
лемма 5. Отображение
W-* Slwtf, w G W, 134
Г лава 5
является взаимно однозначным отображением W на множество двойных классов смежных элементов SPxtP, т. е.
^=U SiWdi (непересекающиеся слагаемые).
W^W
(Доказательство см. в [150].) Пример 4. Пусть 9 = SL (2, R). Тогда
Ж =--
COS ф
sin ф
- Sin ф COS ф
Фб(0, 2я) , а
а 0 0 о"1
L
Jf =
c?R\.
Легко проверить, что централизатор Ж алгебры А в Ж состоит
Г1 0'
из двух элементов Ж = {е, —е), е = Q J-
Минимальные параболические подгруппы Six имеют вид
, *<ESL(2, R), a?R\
( 'a b
0 аТ1
Используя определение подгруппы легко проверить, что из условия AdftЛ cz А следует, что ф = ял/2. Это предполагает, что Ж* является группой из трех элементов:
0 — 1
\е, —е,
Следовательно,
— 1 0
W = Ж* IЖ = \е
0 — 1
1
о
Поэтому SL (2, R) может быть представлена как непересекающееся объединение двух двойных классов смежных элементов.
§ 7. Классификация простых групп Ли
В силу теоремы 3.3 классификация Киллинга—Картана простых алгебр Ли приводит к классификации соответствующих простых групп Ли. Явная форма простой группы Ли, соответствующей простой комплексной или вещественной алгебре Ли L, может быть легко получена путем взятия экспоненты от явно определенного представления алгебры Ли L, заданного в гл. 1.5. Например, алгебра Ли si (п, С) была реализована в виде множества всех комплексных п X «-матриц с нулевым следом. Поэтому группа SL (п, С) состоит из всех элементов
X ? si (ft, С).
(1) Группы JIu
135
В силу тождества det ех = еТг х она является множеством всех уни-модулярных п X n-матриц. Аналогично вычисляется явная реализация всех других простых групп Ли, соответствующая явной реализации в гл. 1.5 сопоставляемых им алгебр. Ниже мьгих перечисляем.
А. Группы, соответствующие алгебрам An^1:
- SV(II) -SLfn. П)
