Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
ql =ф1(р\ Xk), 1=1, 2, ...,«г, (14)
координат ps, s = 1, 2, ..., т, точки р Q M и координат xk, k — 1, 2, ..., п, точки X ? G.
Пусть \]) — аналитическая функция на М, и пусть х1 = el + + Ki Ы — координаты элемента х в бесконечно малой окрестности точки е. Используя разложение Тейлора для функции 7?) (р) — = я]) (рх) в точке р, получаем
+ BlW]. (15)
Производные ^7- функций композиции (14) обозначим fi н
дх }х=е
вычислим приращение функции я]) (р) при бесконечно малом правом сдвиге
Ы. (16)
=р
Мы здесь пренебрегли слагаемыми со степенями б? выше первой. Следовательно, операторы
Xt = її 1ПГ, і= 1, 2, ..., n = dimG, (17)
dt)* Группы JIu
115
играют роль генераторов однопараметрических правых сдвигов.
„ft
удовлетворяют следую-
Лемма 1. Функции f\ (а) = —.
дх1
щему уравнению'.
dtU^ f, Л dfk(4)(a,, Jth^ /юч
^k{ч) —W^ = i,:'"{q}' ( *
где Cpl — структурные константы для G.
Доказательство легко следует из утверждения 1.1 и соответствующих определений, и мы его опускаем. В силу (1.9) имеем
IX1Y) = XY-YX. (19)
Следовательно, из (18) получаем
iy y1 Ifa dfli(q) f df'k (Ф \ д - cl-f) д гЪ y 1<Х\\
№. X1] = ^ — - f, -^s-j - Cklh __ = CkiXb, (20)
т. е. множество генераторов (17) замкнуто при умножении Ли (19).
Заметим, что если M = G, то соотношение (17) дает выражение для генераторов правых сдвигов на G:
Th (У) = ^ (У*)
(см. упражнение 3.1).
Подобным образом можно определить генераторы левых сдвигов на M и G.
Пример 2. Группа GL (п, R) может рассматриваться как эффективная группа преобразований на Rn. Найдем алгебру Ли группы GL (п, R), соответствующую этой реализации. Формула (14) в этом случае принимает вид
Qi = XikPk. (21)
Поэтому
Plrik nk
Fst (р) ¦— OX "
= б V (22)
dxsl
и генераторы (17) однопараметрических подгрупп имеют вид
Xst = ШІт ^b1V-I1 = Pt-It. (23)
dp1 dp1 dp
Они удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Xsm, Xkr] = 6mkXsr — SrsXfcm (24)
(см. (13)). 116
Глава З
Б. Соответствие между группами и алгебрами JIu
Следующая теорема устанавливает соответствие между структурой групп Ли и структурой алгебр Ли.
ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа JIu, L — ее алгебра JIu, a H — подгруппа JIu в G. Через N обозначим множество всех касательных векторов век дифференцируемым кривым в Я. Тогда
1) N — подалгебра в L; она является алгеброй JIu подгруппы Ли Я;
2) если H — инвариантная подгруппа, то N —¦ идеал в L;
3) если H — центральная инвариантная подгруппа, то N — центральный идеал.
Доказательство. По определению 1 подгруппа Ли является в то же время аналитическим подмногообразием. Поэтому подмножество N является подпространством в L. Пусть А и В — касательные вектора к кривым х (t) и у (t) из Я. Поскольку Я — подгруппа, то кривая g (/) = х (t) у (t) л;-1 (t) у"1 (/), так же как и кривая g(|/s), t =VaS1 лежит в Я. Легко проверить, что касательный вектор С к кривой g(|/s) совпадает с вектором IA, В], заданным соотношением (4). Поэтому касательное пространство N является линейным подпространством в L, которое замкнуто для умножения Ли, т. е. оно является подалгеброй Ли в L.
Пусть теперь Я — нормальная подгруппа в G. Обозначим через X (t) произвольную кривую в G с касательным вектором А, а через у (t) — кривую в Я с касательным вектором В. Тогда кривая х (О У (t) X1 (0 лежит в Я и, следовательно, кривая q (/) = = X (t) у (t) X'1 (t) у(t), так же как и кривая q (/s), t = |/s, лежит в Я. Вектор С = [А, В], A Q L, В Q N, является касательным к кривой q(|/ s). Поэтому С лежит в N и, следовательно, N — идеал в L.
В случае когда Я — центральная инвариантная подгруппа, кривая q (t) сводится к точке е и, следовательно, касательный вектор С является нулем, т. е. N — центральный идеал в L.
Мы видим, что группа Ли определяет алгебру Ли с точностью до изоморфизма. Следующая теорема дает ответ на обратный вопрос: в какой мере алгебра Ли L определяет группу Ли?
теорема3. Каждая подалгебра алгебры JIu L группы JIu G является алгеброй JIu в точности одной связной подгруппы JIu в G. Две группы JIu локально изоморфны тогда и только тогда, Когда их алгебры JIu изоморфны.
(Доказательство см. в 1390], гл. II, § 1 и § 2.) Группы JIu
117
В. Группы JIu с изоморфными алгебрами JIu
Мы можем также дать связь между глобальными группами Ли, имеющими изоморфные алгебры Ли. Действительно, пусть Г — класс всех связных групп Ли, имеющих изоморфные алгебры Ли. Тогда, согласно теореме 3, любые две группы класса Г локально изоморфны. Более того, в виду теоремы 2.4.2 в классе Г существует с точностью до изоморфизма одна и только одна односвязная группа G, которую называют универсальной накрывающей группой класса Г. Любая группа класса Г является фактор-группой GlN, где N — дискретная центральная инвариантная подгруппа.
Заметим, что группы класса Г, будучи локально изоморфными, могут быть совсем различны глобально. Простейшим примером этому является группа вращений SO (2) и группа трансляций T1. Эти группы локально изоморфны, так как их алгебры Ли изоморфны. Однако как глобальные группы они совершенно различны; именно, SO (2) — компактная и бесконечно связная группа, тогда как T1 — некомпактная и односвязна (см. теорему 2.4.2). Между этими группами существует соотношение
