Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
У1 = COi (Xі.....хт), 1 </</!, (12)
которые представляют отображение ?2 на языке координат.
Теперь мы выведем трансформационные свойства "касательных векторов. Заметим прежде всего, что если L — касательный вектор в р Q Mt то линейное отображение L': С°° (N) -*¦ Rt заданное формулой L' (g) = L (g " ?2), является касательным вектором в точке 106
Глава З
?2 (р). Отображение dQp: L -»- Z/ мы называем дифференциалом отображения Q в точке р. В силу теоремы 1 базисные векторы в касательных пространствах в точках р и ?2 (р) задаются формулами
at
e,- I
дх' dg*
Є;'- S —* 7 * ду'
Поэтому мы имеем
, 1 « і « т, F = f' qr\ (13)
Ч> (P)
, 1 </<m, g* = g° ф'-1. (14)
ч>' (О (P))
dQP = О)
дх1
ч> (P)
(15)
Поскольку (g (х1, ..., хт) = g* (у1, ..., ут), где У' = = СО І (х1, ..., Xm), то
dup(ej)=2 **
(=1
дх'
ег (16)
Ч> (?)
Следовательно, если представим отображение dQp как матрицу, используя базис eh Ictc tri, и базис ej-, 1 < / < п, то получим хорошо известную матрицу Якоби системы (12).
Векторные поля X и Y на многообразиях MnN называют ^-связанными, если
dQpX(p) = Y(Q(p)) для всех р?М. (17)
Утверждение 2. Пусть Xi и Yi, і = 1, 2, Q-связаны. Тогда AQ [X1, Xz] = Ir11F2]. (18)
Доказательство. Формула (17) может быть записана в виде (F/) оQ = X (/. Q) для всех f ^Cx (N). (19)
Следовательно,
F1 (F2/) о Q = X1 (YJ . Q) = X1 (Xa (/ , Q)). (20)
Меняя индексы 1 и 2 и вычитая выражения (20), получим (18).
§ 2. Группы Ли
Рассмотрев общие свойства аналитических многообразий, мы теперь можем определить группы Ли.
Определение 1. Абстрактную группу G называют группой Jlu, если
1. G — аналитическое многообразие. Группы Jlu
IOf
2. Отображение (х, у) -*¦ ху 1 произведения GxG в G анали-тично.
Условие 2 эквивалентно следующим двум условиям:
2'. Отображение х -*- х"1 группы G в себя аналитично.
2". Отображение (х, у) -*¦ ху произведения GxG в G аналитично.
Действительно, положив в условии 2 X = е, видим, что у'1 аналитично по у, поэтому ху = х (У1)'1 аналитично по х и у. Обратно, если 2' и 2" удовлетворены, то (х, у) -*¦ (х, у'1) является аналитическим отображением GxG в себя и, следовательно, отображение (х, у) -*¦ (х, у"1) -*¦ ху'1 аналитично; поэтому имеет место условие 2. Заметим, что по условию 2" левый сдвиг 7? = ху и правый сдвиг 7? = ух являются аналитическими отображениями.
Любая группа Ли является топологической группой относительно топологии, индуцированной ее аналитической структурой. Действительно, многообразие является хаусдорфовым пространством, а аналитическое отображение (х, у) -*¦ Xif1 непрерывно. Поэтому, согласно определению 2.2.1, группа Ли является топологической группой.
Более того, каждая группа Ли локально компактна. Это следует из того факта, что многообразие локально евклидово, а евклидово пространство Rn локально компактно.
Аддитивная группа R", сопоставляемая с многообразием R", является простым примером группы Ли. Очевидно, что отображение (х, у) -*- ху'1 = X — У в этом случае аналитично. Следующий пример будет играть важную роль в последующих рассмотрениях.
Пример 1. Пусть G = GL (п, R) (см. пример 2.2.3). Рассмотрим матричные элементы Xіі, і, / = 1, 2, ..., п, элемента х = = {х1'} Q GL (я, R) как координаты точки в Rn\ Поскольку отображение
х—>detx
является непрерывным отображением Rn' в R, то множество г])-1 (0) замкнуто в Rn'. Следовательно, его дополнение (яр™1 (0))' в GL (п, R) является открытым подмножеством в Rn', которое представляет собой открытое аналитическое подмногообразие в Rn\ Координаты Zt' элемента z = ху~1 могут быть выражены как рациональные функции от Xls и ytu, и знаменатели этих рациональных функций отличны от нуля на GL (п, R). Поэтому отображение (х, у) -*¦ ху'1 аналитично и, следовательно, GL (п, R) — группа Ли.
N Пусть (Ue, ф) — карта единичного элемента е группы Ли G. Через Xі (р), t"=l, 2, ..., п, обозначим координаты точки 108
Глава З
р G Ue, определенные гомеоморфизмом ф (р) = (х1 (р), X2 (р), ... ..., хп (р)) G Rn- Из условия 2" следует, что для каждой окрестности Ue точки е и для каждого открытого множества VxW в GxG, такого,\что *) VW cz Ue, функции /', і = 1, 2, ..., п, определенные формулой
(ху)1 = f (х\ А ..., х", у1, у\ ..., у") = Г (X, у), X Є V, У G W, (1)
являются аналитическими функциями своих аргументов. Функции /' (х, у) называются функциями композиции группы G. Они удовлетворяют очевидным соотношениям
Из непрерывности группового умножения следует, что в локально евклидовых топологических группах функции композиции всегда непрерывны.
Возникает естественный вопрос: когда локально евклидова топологическая группа является группой Ли. Этот вопрос был поставлен в 1900 г. Гильбертом и известен как пятая проблема Гильберта. Следующая теорема дает решение этого вопроса.
ТЕОРЕМА 1. Локально евклидова топологическая группа изоморфна группе Ли.
(Доказательство см. в [597], гл. IV, § 4.10.)
Теорема 1 утверждает, в частности, что существование непрерывных функций композиции в локально евклидовой топологической группе предполагает существование (в некоторой собственной системе координат) аналитических функций композиции.
