Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
91
Xaapa К, определенную с точностью до положительного постоянного множителя. Мера Хаара, инвариантная как слева, так и справа, называется инвариантной мерой.
Согласно теореме Риса, с мерой р (/) можно ассоциировать функцию множества р (X) для измеримого множества X cz G, такую, что
р
(0 = 1 Hg) dp te). (5)
Инвариантность слева (2) меры Хаара означает, что
p(gX) = p(X), или dp (gx) = dp (л-), (6)
для всех X сі G, g, X Q G.
Пример 1. Пусть G- группа всех комплексных 2 x 2-матриц с равным единице определителем, т. е. G = SL (2, С). Построим явно инвариантную меру Хаара для G.
Га ?
Каждый элемент из G — это матрица g = ^ ^ , и ее можно
отождествить с точкой в С4. Унимодулярные матрицы образуют в Ci поверхность второго порядка аб — ?-y = 1. С этой поверхностью свяжем дифференциальную форму dro, определенную по формуле
da d? dy dS = d (аб — ?y) den = ./d (аб - ?y) d? dy d?, (7)
где J — якобиан перехода (a, ?, -у, ?) —>- [(аб — ?-y), ?, у, б], откуда получаем для dco следующее выражение:
dw(g) = -^d?dTd6. (8)
При левом сдвиге g -> g0g на элемент g0 Q SL (2, С) форма dad?d-ydo, так же как и определитель (аб — ?-y) матрицы g = "a ?
~ У $ > сохраняется. Следовательно, форма dco также сохраняется. То же самое справедливо для правых сдвигов g —>- gg0. Таким образом, положительная форма
dp (g) = dee dw = —у d? dy d? d? dy d6 (9)
удовлетворяет
d|t (g0g) = dp (gg0) = dp (IU)
В силу этого равенство (9) задает инвариантную меру Хаара на SL (2, С). Тогда, ввиду теоремы 1, любая другая мера Хаара пропорциональна мере (9)..<4
Глава 1
Заметим, что, поскольку g 1 -
6 -Р"
— у а_
•Jn (g"1) = CIm, (gr), (11)
, из (9) имеем еще
что выражает инвариантность меры Xaapa при инверсии. Другие примеры см. в упражнениях 2 и 5.
Инвариантность относительно инверсии
Пусть р (¦)— левая мера Хаара, и пусть [ig(f) = р (Tg/). Так как левый и правый сдвиги коммутируют, мы имеем
1? (TlJ) - V (Tffif) = H (T1gTfr) = р(/ (/).
Значит, линейная положительная инвариантная мера P1, (/) является мерой Хаара. С помощью теоремы 1 заключаем, что [гу — = А (у) [і. Следовательно,
= (12)
Поскольку отображение G Э У Tyf ? C0 (G) непрерывно, функция А (у) также непрерывна. Более того, она удовлетворяет функциональному уравнению
А (ху) = А(х)А (у). (13)
Действительно,
А (л-у) р (f) = р (Kf) = р (Tx (Tfr)) = A (X) р (Tfr) -= A(x)A(y)li(f).
Функцию А (л:) называют модулярной функцией для группы G. Если А (я) = 1, то ввиду равенства (12) правая и левая меры Хаара группы G совпадают. Если это имеет место, группу называют унимодулярной.
Ясно, что всякая абелева локально компактная группа уни-модулярна, так как в этом случае Tg-і = Tg. Более того, имеем УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякая компактная группа унимодулярна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если G компактна, то функция f (х) = 1, х ? G, принадлежит Cti (G); следовательно, нормируя левую меру Хаара условием р (1) = 1, получаем
А (у) = A (*,)• р (I)==P (T*l) = р (1)=1.
Унимодулярные группы Ли описаны в гл. 3, § 10, Г.
Выведем теперь важнейшее свойство инверсии левой меры Хаара.Топологические группы
93
утверждение 3. Пусть р (¦) — левая мера Хаара, и пусть / (х) - / (л--1). Тогда
ц (/) = м (J -І-) для каждой fQCt (G). (14)
Доказательство. Пусть p(f) = р ( F-^-); тогла
u №) = i1 (№г 4-) = p (7^ / 4-) = = А (у-1) P (Г* J = A (у1 )A(y)li(J 4") = P (О-
Поэтому р ( •) является левой мерой Хаара; следовательно, р (f) =
= Ф (О-
Покажем теперь, что с = 1. Пусть H — положительное число, и пусть L — окрестность единицы ев G такая, что| — 1 j < є для всех X Q U. Пусть h — ненулевой элемент в Со (G), такой, что h = h, a h исчезает на дополнении U' окрестности U. Тогда
h (х) — /t (х) < eh (х) для всех x?G;
следовательно,
р (h) — р (ji < ер (h).
Это подразумевает | 1 —с | О, т. е. с = 1. Таким образом, р (/) = р (J-І-) для всех f Q Ct (G).
Заметим, что для унимодулярной группы G мы имеем р (/) = = H- (/). т. е.
J f (X) dp (х)-=\ f (х-1) dp (A) =If(X) dp (х-1), (15)
что означает dp (л:) = dp (*"1).
Другими словами, каждая инвариантная мера Хаара инвариантна также относительно инверсии; равенство (11) является точной записью этого свойства меры Хаара для SL (2, С)..<4
Глава 1
§ 4. Комментарии и дополнения
A. Теорема Макки о разложении
Следующая теорема дает важный тип разложения произвольного элемента топологической группы G.
Теорема 1. Пусть G — сепарабельная локально компактная группа, и пусть К — замкнутая ее подгруппа. Тогда в G существует борелевское множество S, такое, что каждый элемент g ? G можно единственным образом представить в виде
g = ks, k?K, s?S. (1)
(Доказательство см. в [552], часть I, лемма 1.1.)
Разложение (1) играет существенную роль в теории индуцированных представлений топологических групп (см. гл. 16).
Б. Универсальная накрывающая группа
Связь между глобальными н локальными свойствами топологических групп описывает следующая теорема.