Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 33

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 153 >> Следующая


91

Xaapa К, определенную с точностью до положительного постоянного множителя. Мера Хаара, инвариантная как слева, так и справа, называется инвариантной мерой.

Согласно теореме Риса, с мерой р (/) можно ассоциировать функцию множества р (X) для измеримого множества X cz G, такую, что

р

(0 = 1 Hg) dp te). (5)

Инвариантность слева (2) меры Хаара означает, что

p(gX) = p(X), или dp (gx) = dp (л-), (6)

для всех X сі G, g, X Q G.

Пример 1. Пусть G- группа всех комплексных 2 x 2-матриц с равным единице определителем, т. е. G = SL (2, С). Построим явно инвариантную меру Хаара для G.

Га ?

Каждый элемент из G — это матрица g = ^ ^ , и ее можно

отождествить с точкой в С4. Унимодулярные матрицы образуют в Ci поверхность второго порядка аб — ?-y = 1. С этой поверхностью свяжем дифференциальную форму dro, определенную по формуле

da d? dy dS = d (аб — ?y) den = ./d (аб - ?y) d? dy d?, (7)

где J — якобиан перехода (a, ?, -у, ?) —>- [(аб — ?-y), ?, у, б], откуда получаем для dco следующее выражение:

dw(g) = -^d?dTd6. (8)

При левом сдвиге g -> g0g на элемент g0 Q SL (2, С) форма dad?d-ydo, так же как и определитель (аб — ?-y) матрицы g = "a ?

~ У $ > сохраняется. Следовательно, форма dco также сохраняется. То же самое справедливо для правых сдвигов g —>- gg0. Таким образом, положительная форма

dp (g) = dee dw = —у d? dy d? d? dy d6 (9)

удовлетворяет

d|t (g0g) = dp (gg0) = dp (IU)

В силу этого равенство (9) задает инвариантную меру Хаара на SL (2, С). Тогда, ввиду теоремы 1, любая другая мера Хаара пропорциональна мере (9). .<4

Глава 1

Заметим, что, поскольку g 1 -

6 -Р"

— у а_

•Jn (g"1) = CIm, (gr), (11)

, из (9) имеем еще

что выражает инвариантность меры Xaapa при инверсии. Другие примеры см. в упражнениях 2 и 5.

Инвариантность относительно инверсии

Пусть р (¦)— левая мера Хаара, и пусть [ig(f) = р (Tg/). Так как левый и правый сдвиги коммутируют, мы имеем

1? (TlJ) - V (Tffif) = H (T1gTfr) = р(/ (/).

Значит, линейная положительная инвариантная мера P1, (/) является мерой Хаара. С помощью теоремы 1 заключаем, что [гу — = А (у) [і. Следовательно,

= (12)

Поскольку отображение G Э У Tyf ? C0 (G) непрерывно, функция А (у) также непрерывна. Более того, она удовлетворяет функциональному уравнению

А (ху) = А(х)А (у). (13)

Действительно,

А (л-у) р (f) = р (Kf) = р (Tx (Tfr)) = A (X) р (Tfr) -= A(x)A(y)li(f).

Функцию А (л:) называют модулярной функцией для группы G. Если А (я) = 1, то ввиду равенства (12) правая и левая меры Хаара группы G совпадают. Если это имеет место, группу называют унимодулярной.

Ясно, что всякая абелева локально компактная группа уни-модулярна, так как в этом случае Tg-і = Tg. Более того, имеем УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякая компактная группа унимодулярна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если G компактна, то функция f (х) = 1, х ? G, принадлежит Cti (G); следовательно, нормируя левую меру Хаара условием р (1) = 1, получаем

А (у) = A (*,)• р (I)==P (T*l) = р (1)=1.

Унимодулярные группы Ли описаны в гл. 3, § 10, Г.

Выведем теперь важнейшее свойство инверсии левой меры Хаара. Топологические группы

93

утверждение 3. Пусть р (¦) — левая мера Хаара, и пусть / (х) - / (л--1). Тогда

ц (/) = м (J -І-) для каждой fQCt (G). (14)

Доказательство. Пусть p(f) = р ( F-^-); тогла

u №) = i1 (№г 4-) = p (7^ / 4-) = = А (у-1) P (Г* J = A (у1 )A(y)li(J 4") = P (О-

Поэтому р ( •) является левой мерой Хаара; следовательно, р (f) =

= Ф (О-

Покажем теперь, что с = 1. Пусть H — положительное число, и пусть L — окрестность единицы ев G такая, что| — 1 j < є для всех X Q U. Пусть h — ненулевой элемент в Со (G), такой, что h = h, a h исчезает на дополнении U' окрестности U. Тогда

h (х) — /t (х) < eh (х) для всех x?G;

следовательно,

р (h) — р (ji < ер (h).

Это подразумевает | 1 —с | О, т. е. с = 1. Таким образом, р (/) = р (J-І-) для всех f Q Ct (G).

Заметим, что для унимодулярной группы G мы имеем р (/) = = H- (/). т. е.

J f (X) dp (х)-=\ f (х-1) dp (A) =If(X) dp (х-1), (15)

что означает dp (л:) = dp (*"1).

Другими словами, каждая инвариантная мера Хаара инвариантна также относительно инверсии; равенство (11) является точной записью этого свойства меры Хаара для SL (2, С). .<4

Глава 1

§ 4. Комментарии и дополнения

A. Теорема Макки о разложении

Следующая теорема дает важный тип разложения произвольного элемента топологической группы G.

Теорема 1. Пусть G — сепарабельная локально компактная группа, и пусть К — замкнутая ее подгруппа. Тогда в G существует борелевское множество S, такое, что каждый элемент g ? G можно единственным образом представить в виде

g = ks, k?K, s?S. (1)

(Доказательство см. в [552], часть I, лемма 1.1.)

Разложение (1) играет существенную роль в теории индуцированных представлений топологических групп (см. гл. 16).

Б. Универсальная накрывающая группа

Связь между глобальными н локальными свойствами топологических групп описывает следующая теорема.
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed