Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
'Г EOPEMA 2. Пусть Г — класс всех линейно связных, локально связных, локально односвязных топологических групп, которые локально изоморфны некоторой топологической группе G. Тогда в классе Г существует, с точностью до изоморфизма, одна и только одна односвязная группа G. Любая другая группа класса Г является фактор-группой G/N, где N — дискретная нормальная подгруппа.
(Доказательство см. в [678], гл. IX, раздел 51.)
Группа G называется универсальной накрывающей группой всех групп в классе Г.
Теорема 2 играет важную роль в теории представлений групп, поскольку связность группового пространства непосредственно связана с однозначностью представлений группы G.
B. Инвариантная метрика
Интересным является тот факт, что топологическая группа G обладает не только инвариантной мерой, по также и инвариантной метрикой. Действительно, имеется
теорема з (теорема Биркгофа — Какутани). Пусть G — топологическая группа, открытые множества которой в единице е Топологические группы
95
имеют счетную базу 1). Тогда существует функция расстояния d (-, ¦), которая инвариантна справа, т. е.
d (xg, yg) = d (л:, у) для всех х, у и g из G, (2)
и которая индуцирует на G исходную топологию.
(Доказательство см. в [597], гл. 1, §22.)
Г. Библиографические замечания
Аксиоматическое определение топологической группы в используемом сегодня виде было впервые дано польским математиком Лейа в [510]. Этот объект стал весьма популярным в начале 30-х годов нашего века и исследовался многими видными математиками, такими, как Ван Данциг, Хаар, фон Нейман и другими.
Понятие инвариантного интегрирования на непрерывных группах было введено еще в прошлом веке Гурвицом. Позднее Вейль [839] вычислил инвариантный интеграл для О (п) и U (/г); вскоре Петер и Вейль [673] показали существование инвариантного интеграла для произвольной компактной группы. Решающим достижением явился результат Хаара [360], непосредственно построившего левоинвариантный интеграл для локально компактной группы со счетной открытой базой. Этот результат оказался неожиданным даже для выдающихся математиков, например, для фон Неймана, который не верил в существование инвариантных интегралов для столь широкого класса топологических групп.
Конструкция Хаара была распространена Вейлем [829] на произвольную локально компактную группу.
Инвариантная мера существует также на некоторых не локально компактных группах. В частности, инвариантная мера для полных метрических групп была построена Окстоби в [656]. Более подробное рассмотрение можно найти в книгах Хьюитта и Росса [405] и Нахбина [613].
§ 5. Упражнения
§ 1.1. Покажите, что существует 9 топологических пространств, состоящих из 3 элементов, таких, что никакие два из них не гомеоморфны.
§ 1.2. Покажите, что следующие двухточечные функции [помимо (1.2) и (1.3)] определяют метрику на соответствующих множествах:
') Семейство В (х), х ? X, окрестностей точки х, обладающих тем свойством, что для всякого открытого множества V, содержащего х, существует U ? В (х), такая, что х ? U С V называется базой топологического векторного пространства (X, т) в точке х. .<4
Глава 1
а) на множестве наборов из п вещественных чисел
d (х, у) = шах IX1 — у і I;
б) на множестве X всех непрерывных вещественных функций на замкнутом интервале [0, 1 ]
1 "11/2 d(x,y) = \(x(t)-y(t)fdt
-О
или
d{x, у) = шах \x(t) — у (і) |;
в) на произвольном множестве X
d (х, у) — 1 при X =h у, d(x, л:) = 0.
§ 1.3. Говорят, что последовательность An операторов в гильбертовом пространстве сходится к А в равномерной топологии (или топологии норм), если
Iim HA1-Л 11 = 0.
rt-»-со
Покажите, что унитарная однопараметрическая группа сдвигов
Ut: и (х) —»и (х +1)
в H = L2 (R1) непрерывна в сильной топологии, но не в равномерной топологии. Заметим, что поскольку для любых t, І', t ф t',
\\Vt -Ur\ = 2,
кривая t -> Ut дискретна в равномерной топологии. Этот пример иллюстрирует различную природу непрерывности в различных топологиях.
§ 1.4. Пусть SU (3) — группа всех унитарных унимодулярных З X 3-матриц. Изучите связность SU (S)IZ3, где
Z3= [І, еі2я/3/, еі4я/3/}
— центр в SU (3). Обобщите это на SU (n)/Zn.
§ 1.5. Пусть (R, T1) и (R, т2) — вещественная прямая R, снабженная топологиями T1 и т2 соответственно. Покажите, что взаимно однозначное отображение х -> у = х из (R, тг) в (R, т2) непрерывно тогда и только тогда, когда T1 сильнее т2.
§2.1. Пусть G — группа всех линейных преобразований в Cn, оставляющих инвариантной квадратичную форму
ZiZi ' |- ¦ ¦ • -}- ZpZp Z„+xZp+i • • • ZnZn = 1.
Определите тополог ию т на G, такую, что G становится топологической группой. Топологические группы
97
§ 2.2. Пусть G — группа О (л, 1) всех вещественных преобразований в Rn+1, сохраняющих квадратичную форму
A? — Xi — xf — ¦ • • — хп-
Покажите, что О (2, 1) бесконечнократно связна.
§ 2.3. Покажите, что О (З, 1) состоит из четырех компонент. Проверьте, что результат справедлив также для группы О (п, 1), п 3.
