Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2.4. Пусть X = Rn, и пусть G — множество всех взаимно однозначных преобразований из Cca, /: Rn —> 7?", таких, что обратное преобразование также принадлежит Cca. Группа G является группой преобразований координат (группой диффеоморфизмов). Для / и g из G функции
d(f, g)„ = шах sup I (1 +1X I2)" (/<"> (X) - g (x)(m)) I,
0<[m|<n
X (-Rn
где
/(m) (X) = (DmO (X), Dm = Dm' ... DmI, Dm і = \m\ = l,
OXnij
определяют метрику в G. Пусть xd обозначает топологию в G, заданную при помощи метрик dn. Покажите, что групповые операции непрерывны по отношению к Xd и поэтому (G, xd) является топологической группой.
§ 2.5. Пусть H — гильбертово пространство. Пусть G — группа всех унитарных операторов в Н. Определите топологию т на G такую, что G становится топологической группой.
§ 2.6. Рассмотрим пространство Шварца функций S на Rn как абелеву группу. Пусть N = S х) G (G — группа диффеоморфизмов в Rn, см. упражнение 2.3) — группа, определенная при помощи следующего закона композиции:
(s, g)(s', g') = (s + s'cg, g0g')t где s'"g и g"g' обозначают композицию соответствующих отображений на Rn (например, s'°g = s' [g(x)]).
Покажите, что N, снабженная топологией произведения топологии Шварца на S и топологии Xd на G, является топологической группой. (Примечание: это глобальная группа, ассоциированная с коммутационными соотношениями алгебры токов; см. гл. 1, § 10, упражнение 2.9.)
§ 3.1. Пусть р — левая мера Хаара на G. Определим новую меру
^P(0 = P(F)> где /(X) =/(х-1). Покажите, что р — правая мера Хаара на G. .<4
Глава 1
l]' Х>
y?R, хфО.
§ 3.2. Рассмотрим группу G всех матриц вида
У
О
Покажите, что левая мера Хаара имеет вид
dMg) = -^-.
§ 3.3. Покажите, что единственной трансляционно инвариантной мерой на вещественной прямой R является мера, пропорциональная мере Лебега, т. е. dp (я) = с йх, с = const.
§ 3.4. Пусть G — множество всех вещественных невырожденных 2х2-матриц вида
G^g= " I (т. е. G = GL(2, R)).
Покажите, что левая и правая инвариантные меры Хаара на G имеют вид
, , . da d? dv d? § 3.5. Пусть G = GL (n, R). Покажите, что мера Хаара
Имеет ВИД fa
dp (*) = —
где
G.
I det X I" '
п ' хп- • • xW
П dXij, X =
і * і, /=і _ ХП1 ¦ ¦ • хпп _
§ 3.6. Пусть G — группа всех треугольных вещественных п X п-матриц
xU Х12 • • • хт хт ¦ • -
О
Покажите, что левая мера Хаара на G имеет вид dp (х) =
uxnaxl2
^xп—1, п^хпп
I vn п—1 11 22
"Ті—1, ri -1 пп I
тогда как правая мера Хаара имеет вид dp (а)
d*ndx12
1, п^хпп
*11л22 Глава З Группы Ли
§ 1. Дифференцируемые многообразия
В этом параграфе мы вводим понятия дифференцируемых (гладких) и аналитических многообразий. Пусть M — хаусдорфово пространство. Пара (U, ф), где U — открытое множество в М, а ф — гомеоморфизм U на открытое подмножество n-мерного (вещественного) евклидового пространства Rn, является картой на М. Число п называется размерностью карты, a U — областью карты.
Другими словами, карта представляет собой систему координат в M относительно ф.
Хаусдорфово пространство M называют локально евклидовым, если для каждой точки р ? M существует карта (U, ф) на окрестности U (называемой координатной окрестностью) точки р размерности п. В этом случае мы говорим, что (U, ф) является картой точки р. Хаусдорфово пространство, которое является локально евклидовым в каждой точке, называется топологическим многообразием (размерности, равной размерности карты).
Примеры. R'1, сфера Sn3 проективные пространства (вещест венные или комплексные), ортогональная группа (ортогональные nXn-матрицы как подпространство в R"2) являются топологическими многообразиями.
Пусть ShS' — открытые подмножества в R", а — отображение S в S'. Говорят, что отображение дифференцируемо (или гладко), если координаты yi (if (р)), j = 1, 2, ..., п, являются бесконечно дифференцируемыми функциями координат Xі (р), і = 1, 2, ..., п, р ? S. В этом случае мы будем писать: ? классу Cco (S). Говорят, что отображение о|з: S ->- S' аполитично (или класса Cto), если для каждого р ? S существует окрестность U точки р, такая, что для q ? U каждая из координат yi(0p (q)), j = 1, 2, ..., п, может быть выражена сходящимся степенным рядом по Xі (q) — Xі (р), і = 1, 2, ..., п.
Определение 1. Набор карт (Ua, ц>„)а^А на хаусдорфовом пространстве M1 для которого выполняются условия
10M= U Ua (т. е. области карт покрывают М),
а?А .<4
Глава 1
2° для каждой пары а, ? ? А отображение 1J <p?°<p« является дифференцируемым отображением <ptt (Ua П U?) на фр (Ua П U?), называется дифференцируемой структурой размерности п (или атласом класса С°°) на М.
Карта (Ua, фи), а (:: А, определяет локальную систему координат на многообразии М. Локальными координатами точки р ? Ua являются компоненты функции фа (р) = (х1 (р), ...,
(P))-
Условие 2° фактически означает, что преобразование фР « ц>а, связывающее различные координаты, введенные на множестве Ua Л U? картой (Un, фа) и картой (U?, q>?), дифференцируемо; оно выражает сравнимость пересекающихся систем координат.
