Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь докажем основную теорему.
Теорема 2. Компактная связная группа Ли G является прямым произведением ее связного центра G0 и простых компактных связных подгрупп Ли.
Доказательство. Пусть L — алгебра Ли группы G. В силу утверждения 1 L компактна. Поэтому из теоремы 1.3.2 заключаем, что
L = S1 ©Ss®...© S11, (3)
где N — центр в L, a Sk, k = 1, 2, ..., п, — простые идеалы в L. Следовательно, в силу теоремы 3.3 получаем
G = G0 X G1 X G2 X ... X Gn, (4)
где G0 — связный центр группы G, a Gk, k — 1, 2, ..., п, — простые связные подгруппы Ли в G. Группы JIu
139
§ 9. Инвариантная метрика и инвариантная мера на группах Ли
А. Инвариантная метрика
Из теоремы Биркгофа—Какутани 2.4.3 мы знаем, что каждая группа Ли допускает правоинвариантную метрику. Теперь мы явно построим эту метрику для любой матричной группы Ли.
утверждение 1. Пусть G— матричная группа Jlu. Пусть dg — матрица, состоящая из дифференциалов всех матричных элементов матрицы g ? G, и пусть w (g, dg) — дифференциальная форма на G, заданная формулой w (g, dg) = dgg"1. Тогда
ds2 = Tr wwT = J] Wiij (1)
<¦ /
является правоинвариантной метрикой на G.
Доказательство. Форма w (g, dg) правоиивариантна на G. Действительно, w (gh, d (gh)) = dghh~lg~l = w (g, dg). Следовательно, ds2 правоиивариантна и положительна.
Пусть теперь G — простая группа Ли, a C^1 — структурные константы алгебры Ли L группы G. Отображение g —goggo"1 порождает автоморфизм (3.29) алгебры Ли L. Следовательно, структурные константы и метрический тензор Картана
jn I to\
Qij = CilCjm (4)
двусторонне инвариантны. Поэтому метрика
db2 (0 = gij df" &i (3)
также двусторонне инвариантна. Если G компактна, то метрический тензор gij положительно определен; в противном случае он является индефинитным. Поэтому каждая простая группа Ли является или римановым, или псевдоримановым пространством.
Если q и h — произвольные элементы в G, то расстояние d (g, К) определяем формулой
d(g, ft) = Inf [ds, (4)
V VJ
где inf взят относительно всех непрерывных кривых, связывающих g и h. Ясно, что расстояние (4) имеет те же свойства инвариантности, что и метрика ds.
Пример 1. Пусть G = SL (п, R). Инвариантный метрический тензор Картана для SL (я, R) имеет вид (1.2.14)
gsm, s'm' = 2rt6sm' 6ms'. (5) 140
Г лава 5
В силу примера 2.1 координаты Iіі элемента
*={*''}?./~х€ SL (n,R) (6)
являются матричными элементами Xt'. Следовательно, в силу формул (1) и (6) инвариантная метрика имеет вид
Cb2 = gsm, s'm- dxsm dxs'm' = 2n Tr (dx)2, (7)
где dx — матрица Idx'/]. Эта метрика двусторонне инвариантна.
Расстояние между двумя любыми точками теперь получается подстановкой (7) в (4).
Б. Инвариантная мера
Мы доказали в гл. 2, § 3, что на любой локально компактной топологической группе G существует левоинвариантная или пра-воинвариантная мера dp (х). Это предполагает, в частности, что все группы Ли обладают левоинвариантными или правоинва-риантными мерами Хаара.
ПРИМЕР 2. Пусть G — трехмерная группа треугольных матриц
1 а В
?, У)
0 1 Y 0 0 1
(а, Р, V), Р, -Ktf1-
Эта группа называется группой Вейля. Ее групповое пространство изоморфно Rs. Закон умножения в G задается следующей формулой:
(а, ?, у) « ?', у') = (а + а', ? + ?', V + у' + a?')-Поэтому евклидова мера на Rs, заданная формулой dg (a, ?, У) = da d? dy,
как левоинвариантна, так и правоинвариантна.
Другие примеры инварнантных мер для отдельных групп Ли даны в упражнениях.
§ 10. Комментарии и дополнения
А. Экспоненциальное отображение
Мы обсуждаем здесь свойства однопараметрических подгрупп g (і) в G, полученных взятием экспоненты элементов X алгебры Ли L группы G. Сначала мы рассмотрим эту теорию для матричных алгебр Ли. Группы JIu
141
Пусть X— произвольная п X /t-матрица X= [X17-]. Пусть р = шах I Xii I. Тогда для матричных элементов (Xk)ij k-u сте-
пени Xk (0 k <400) матрицы X имеем
|(Х%|< (np)*. (1)
Действительно, неравенство (1) справедливо при k = 0. Предположив, что (1) справедливо для некоторого целого k ^ 0, получаем
I (Xk+% I = I (Xk)ilXlj I < n(nv)k P = (np)*+1. Следовательно, согласно индукции, неравенство (1) справедливо для любого k. Теперь полагаем
O(X)^exp X = / + 4- + -?- + ..- +-?-+.... (2)
В силу (1) при фиксированных і и / каждый ряд
S ТГ
мажорируется рядом y-k!k\\ поэтому он абсолютно сходим. Следовательно, для матрицы X = {Хгу}, удовлетворяющей условию I Xij I < оо, экспонента exp X всегда существует. В силу равенства Якоби
det exp X = exp Tr X (3)
экспонента любой матрицы является регулярной матрицей.
В силу теоремы Адо каждая алгебра Ли имеет точное представление, заданное конечномерными матрицами. Пусть X1, ... ..., Xn — базис в этой матричной алгебре. Тогда отображение
ViX1 + • • • + tnxn) - exp V1X1 + • • • + tnXn) (4)
задает отображение окрестности точки 0 из L в окрестность единицы ев G.
Ясно, что в силу (2) мы имеем
exp (t + s) X = exp tx exp sX (5)
и
exp tX = X exp tX.
