Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
где ц ? R", а s ? S1 (одномерная сфера). Покажите, что Gn нильпотентна.
Указание. Положите
Gn Эё(1 T1, s) = exp [i (IQ + TjP + si)]
и используйте формулу Бейкера—Хаусдорфа.
§ 5.3. Покажите, что бесконечномерная группа Ли G00, соответствующая KKC [ф (х), л (у)] = І8 (х — у) в квантовой теории поля, имеет вид
GBt=H + H + Sl,
где H — вещественное бесконечномерное гильбертово пространство.
§ 5.4. Покажите, что трехмерная вещественная группа, определенная законом умножения
(X1, г/і, Z1) (х2, уг, Z2) = (X1+ х2, г/!+ ?, Z1+ Z2 ^x1Ij2), (17а) х, у, Z^R1,
нильпотентна. Покажите, что подгруппа Z — ((0, 0, z)} является центром в G, а подгруппа N = {(0, у, z)} нормальна в G.
Покажите, что группа G, определенная формулой (17а), является полупрямым произведением
G = Nx)S, (176)
где S = |(х, 0, 0)} [см. пример 9(2)]. Группы JIu
149
§ 6.1. Пусть G = SL (п, С), и пусть В» DwZ- подгруппы, заданные теоремой 6.2. Покажите, что матричные элементы множителей Гаусса (6.7) для разложения (6.8) имеют вид
|-р 9 + 1
bp? ¦
S4
p<q,
б„
gp+i
<~pq
p>q.
(18)
n
?/+ 1 ¦ •• n
ГР P + 1 • ¦ • я gp I q p + 1 • • • n^ где gp — минор, задаваемый формулой (6.11),
>1 Pl --Pm
Qi q-i ¦¦¦ qm
— минор матрицы, полученный вычеркиванием в элементе g ? G всех строк, за исключением строк с номерами ри ръ ..., рт,
столбцов, за исключением тех, которые имеют
и
номера
всех Ql, <?2, ¦¦•. Qm-
§ 6.2. Покажите, что вещественная подгруппа в GL (п, С), определенная условием
S"1 gs = g*'1,
S =
Г
0
1
1
(19)
где а — матрица порядка р, е — единичная матрица порядка п — 2р, изоморфна группе U (р, q). Покажите, что множитель Гаусса D для U (р, q), р ^ q, состоит из всех блочно-диагональ-ных матриц вида
гК О
6 =
и
О JT1
(20)
где Я — диагональная комплексная матрица порядка р, а и — унитарная матрица порядка п — 2q.
§ 6.3. Пусть G = GL (п, С), и пусть g = ?6z — разложение Гаусса элемента g. Покажите, что
del
8и
gip
_ = 6Д ... Sp = Ap. (21)
gpi ••• Spp '
§ 6.4. Используя разложение Картана, покажите, что каждое преобразование Лоренца g Q SO0 (З, 1) может быть записано 150
Г лава 5
как произведение вращения и чисто лоренцевого преобразования (буста), т. е.
g = ехр (iaJ) ехр (i?N). (22)
§ 6.5. Найдите разложение Ивасавы для группы Лоренца. § 6.6. Полярное разложение. Покажите, что каждый элемент g Є GL (п, С) допускает следующее однозначное разложение:
g = hu, (23)
где h — положительно определенная эрмитова матрица, а и — унитарная матрица.
Указание. Возьмите р = gg* и покажите, что р = /i2, где h положительно определена. Покажите, что и = H~lg унитарна.
Замечание. Каждый невырожденный оператор X в гильбертовом пространстве имеет разложение
X = HU, (24)
где H — положительно определенный самосопряженный оператор, a U — изометрический оператор.
§ 6.7. Разложение Грамма. Покажите, что каждый элементу ? Є GL (п, С) допускает следующее однозначное разложение
g = гем, (25)
где z — элемент подгруппы нижних треугольных матриц в GL (п, С), є — элемент множества E всех положительно определенных диагональных матриц, а и — унитарная матрица.
§ 6.8. Покажите, что при тех же обозначениях, что и в упражнении 7, имеет место разложение
GL (и, С) = U(n)EU(п). (26)
Указание. Положите g = hu и приведите h к диагональному виду.
Замечание. Разложение (26) для произвольной полупростой группы Ли G принимает вид
G = КАК, (27)
где К — максимальная компактная подгруппа в G, а А — множитель в разложении Ивасавы (G = NAK) (см. [150]).
§ 7.1. Покажите, что группа SL (2, С) является двукратной универсальной накрывающей группой для SO (З, 1), и накрытие задается формулой
^Т = 4Тг(^Лол'Л*), (28)
где
Le SO (З, 1), AeSL (2, С), Gll = (Ao)1 ой = (/, -о). § 7.2. Докажите обратную формулу
А = іtrVV- N2 = LilvLy6 Tr (ом oV ov). (29) Группы JIu
151
Таким образом,
SO (3, 1) = SL (2, C):D,
где
D = \I, -/}.
Указание. Используйте взаимно однозначное соответствие между эрмитовыми 2х2-матрицами X и векторами пространства Минковского, заданное формулой
JfO _ у'^ у! _ j^-3
э X - > X = X0I 4 X1O1 Ч ^ Мх3 ^x3
и тот факт, что преобразование X' — АХЛ*, Л Q SL (2, С), в матричном пространстве индуцирует преобразование Лоренца в R1.
§ 7.3. Покажите, что элемент
- 1 —1 О - 1
накрывающей группы для SO0 (З, 1) не может быть записан в виде (22).
§ 9.1. Пусть d (X, у) — левоинвариантное расстояние на связной группе Ли G. Положим т (х) — d (е, л) и Vt (л) — (X1T1, ... ..., Хпх), где {Xj}i —базис в левоинвариантной алгебре Ли L группы G. Покажите, что
IVt(X)I < I Vt {е)\.
§ 9.2. Пусть р( ) — левоинвариантная мера на G. Покажите, что существует константа К, такая, что
ё
j ехр [-Xx (*)] dp (х) <
оо.
§ 9.3. Покажите, что коэффициенты ааР (х) в формуле (1) упражнения 3.3, которая связывает элементы левоинвариантной и правоинвариантной алгебр, удовлетворяют неравенству
