Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отображение х -*¦ Tx группы G'в пространство L (H) линейных ограниченных операторов в H называют представлением группы GbH, если удовлетворяются следующие условия:
Txu=TxTlj, Te = I. (1)
Условие Txy = TxTu означает, что отображение х -+Tx является гомоморфизмом группы G в множество линейных операторов в Н. Условие Te = I обеспечивает обратимость операторов, которыми задается представление х Tx; действительно,
TxTx-I = Tx-^Tx = Te = I.
Следовательно,
Т'х = Tx-,.
Кроме того, на представление х -*¦ Tx группы G в Я также налагаются определенные условия непрерывности. Говорят, что представление сильно непрерывно, если для всех и ? H отображение X -*¦ Тхи является непрерывным отображением группы G в Я. Это означает, что для любого % ^ G и для всех векторов
и а н
\TXU-Tx„u\\-*Q при X — > л'о. (2)
Условие (2) эквивалентно следующему, вообще говоря, более сильному условию, которое обычно дается в определении представления топологических групп.
Отображение (и, х) -*- Тхи является непрерывным отображением HxG в Н.
доказательство. Необходимо показать, что при X-+X0 Є G и и и0 Є H
Тхи -> ТХои0. 168
Г лава 5
Пусть К — компактная окрестность точки х0 в G. Согласно""ус-ловию (2), для любого « ? Я множество S — \Тхи \'х ? К\ является компактным (и, следовательно, ограниченным) подмножеством в Я. Из принципа равномерной ограниченности 4 (см. приложение А.4) вытекает существование константы Ck, такой, что для всех х^К
О TJ «с*. (3)
Без потери общности можно предположить, что X ? К. Тогда Il TxIi - TxoII0 Il < Il Тхи - TxII0 Il + Il TxIi0 - TxnII01 < Ck !I и - - U0 Il - і -
П\т,щ-TxMl
Первое слагаемое стремится к нулю, так как и ->- и0. Второе слагаемое стремится к нулю в силу условия (2). Следовательно, TxU ->- ТХои0 при X х0 G и и ->- U0 G Я, и отображение (и, х) -*- Тхи является непрерывным отображением HxG в Я.
Говорят, что представление ограничено, если sup || Tx || < оо. Из (3) следует, что представление любой локально компактной сепарабельной топологической группы ограничено на любом компактном подмножестве К с= G. В частности, представление компактной группы ограничено.
Говорят, что представление унитарно, если всякий оператор Tx, х(: G, унитарен в Я, и тривиально, если Tx = I для всех х из G.
Представление х -> Tx группы G для краткости обозначаем символом Т. Пространство Н, в котором действует представление Т, называется пространством представления Т.
Определение 1 фактически определяет линейные представления группы G. В дальнейшем под представлением топологической локально компактной сепарабельной группы G будем понимать линейное сильно непрерывное представление в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве Я, если не уточняется другое (например, нелинейное, слабо непрерывное или разрывное).
Пример 1. Пусть G = R1, а Я — произвольное гильбертово пространство. Рассмотрим отображения
1) Rldx -> Tx = exp [ipx] ¦I, pt R\
2) R1Э X - »Tx = exp [рх] I, R\
Очевидно, что эти отображения удовлетворяют условиям (1) и (2). Следовательно, T и T' являются представлениями группы R1. Представление T' не ограничено на R1, хотя оно ограничено на каждом ограниченном подмножестве из R1.
Пример 2. Пусть G — топологическая группа преобразований, действующая непрерывно на локально компактном про- Представления групп
169
странстве S с мерой и оставляющая эту меру инвариантной. Положим H = L2 (S, р). Пусть отображение х ->- Tx определено посредством левых сдвигов, т. е.
(TjtU)(S) = U(X-1S)t и QH, s QS, X QG. (4)
Ясно, что каждый оператор Tx линеен. Более того,
[Tv (TgU)] (s) = (Tji) (х-Ч) = и (y~\x'h) = (TX!ju) (S)t
т. е.
TT=T T-I
1X1U 1 XUj 1C 1 •
Следовательно, отображение (4) определяет представление группы GbH.
Инвариантность меры предполагает, что
[T1LL, T1V) = J и (a_1s) V (a-1s) dp (s) = (и, и),
т. е. что оператор Tx изометричен, а поскольку его область определения Dtx совпадает с Н, каждый оператор Tx унитарен. Если и Q C0 (S), то, согласно равномерной непрерывности,
slip i U (at1s) — и (s) i —> о
при х е (см. утверждение 2.2.4). Более того, существует фиксированное компактное множество К cr S1 содержащее носители функций и и Тхи для х, достаточно близких к е. При этом
ii^ ii Г f I / , ,1V2
TvU — и = -- - -.
JlU(X-1S)-U(S)Pdp (S)
с
< шах I и (х 1S) — и (s) I V р (К) —> 0 при а' —> е.
s € л'
Свойство непрерывности при х-*-у получается заменой и на Туи.
Если и Q L2 (S, р) и є > 0, то существует с ( C8 (S), такое, что Il и — V Ij < е. Тогда
Il Тхи - u І <|| Tx (и - V) I + Il TxV - V H- Il о - и\,
и инвариантность р относительно G предполагает, что
Il TxIi — и І -с 2є -j- J TjlV — V ||.
Следовательно, || Тхи — и || < Зє, если х достаточно близко к е. Таким образом, отображение (4) определяет сильно непрерывное унитарное представление группы G в L2 (S, р).
Если S = G, то представление (4) называется левым регулярным представлением. Если S = G/K, где К — замкнутая подгруппа в G, то представление (4) называется квазирегулярным представлением. Ясно, что с помощью правых сдвигов
