Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Якобиан о/ преобразования (x0, X1, x2, x3) -> (xpxp, X1, x2, x3) принимает вид ?7 = х0/2, где X0 = (р2 -J- х2)1/2 [для верхнего гиперболоида (11)]. Поэтому в силу (12)
dp (х)= fkl^d"'- (13)
Правое преобразование х xg сохраняет дифференциальные формы dx0CIx1CIx2CIx3 и d (хрхР). Поэтому дифференциальная форма (13) инвариантна и задает инвариантную меру на х = H\G. В силу следствия 1 эта мера определяется однозначно с точностью до мультипликативной константы.
В релятивистской кинематике четыре-вектор энергии-импульса частицы с положительной массой удовлетворяет условию р\ — — р2 = т2\ поэтому это точка на однородном пространстве H\G, и, следовательно, инвариантная мера совпадает с dspl2p0.
Теперь мы дадим так называемую теорему о разложении меры. Пусть X — локально компактное пространство, счетное на бесконечности, г — соотношение эквивалентности в X, a Y — фактор-пространство Xlr. Обозначим через я каноническое отображение из X на Y- Пусть р — конечная мера на X. Множество 164
Г лава 5
E cz Y является борелевым множеством тогда и только тогда, когда л;-1 (F) — борелево множество в X. Это дает борелеву структуру в Y, индуцированную борелевой структурой в X. Определяем меру р на Y формулой
ц (E) = р (лГ'7:), E — борелево множество в Y. (14)
Если борелева структура на Y сепарабельна (т. е. существует последовательность борелевых множеств в Y, которые отделяют точки в Y), то мы имеем следующую теорему.
Теорема 2. Для каждого у Q Y существует мера \iy на X с носителем л(у) (т. е. р,, (X — л-1 (у)) — 0), такая, что для каждой функции f Q L1 (X, р) имеем
J/Wd|i(A) - . [ dp (у) [/(X) dp,,(A-). (15)
X YX
(Доказательство см. в 1552], § 11.)
§ 4. Комментарии и дополнения
А. Следующая теорема дает полезную формулу разложения меры, соответствующую разложению Ивасавы.
Теорема 1. Пусть G —связная полупростая группа Ли, и пусть XsirJf — ее разложение Ивасавы. Пусть dk, да и An —¦ левоинвариантные меры на Ж, Mp и Jf соответственно. Тогда левоинвариантная меря dg на G может быть нормализована так, что
\f(g)ag= f f (кап) ехр [2р (log о)] dк da dп =
ь Wx^xJf
= ( / (кпа) Ak an da, (1)
X xsfpX Jf
где Ioga обозначает единственный элемент X в алгебре Ли Hp, для которого ехр X — а, и P = 4- S й'
[См. формулу (1.6.18).] (Доказательство см. в [390], гл. X, § 1.)
Б. Исторические замечания
После завершения классификации комплексных простых групп Ли [1581 и вещественных простых групп Ли [159] Картан начал в 1925 г. анализ свойств однородных пространств, сопоставляемых с простыми группами Ли. В ряде впечатляющих работ [161— 165] он завершил классификацию глобальных неприводимых Однородные и симметрические пространства
165
симметрических римановых пространств. Он также дал геометрическое описание всех этих пространств.
Классификация симметрических пространств с некомпактными стационарными подгруппами дана Бергером [110].
Описание квазиинвариантных мер на однородных пространствах в виде, представленном теоремой 3.1, было дано Люмисом 1544 ].
§ 5. Упражнения
§ 2.1. Пусть G = U (п) и H = U (п — 1). Покажите, что пространство X = G, Я симметрично и может быть представлено в виде многообразия в С", заданного формулой
21?+.. .+ZnZn= 1. (1)
§ 2.2. Пусть G = SO (р, q) и H = SO (р — 1, q). Покажите, что пространство X = GlH симметрично и может быть представлено как гиперболоид, заданный формулой
-v'l + ... н- 4 - x*+i - ... - xl+Q = 1. (2)
§ 2.3. Покажите, что стационарной группой конуса
ao — хї — — л'з ----- 0 (3)
является группа Я = T2 х) SO (2).
Указание. Используйте описание пространства Минковского M с помощью 2х2-матриц, заданное соответствием
(см. упражнение 3.7.3), и найдите стационарную подгруппу точки X = (1, О, О, 1) в этой реализации.
§ 2.4. Покажите, что симметрическое пространство X = = SU (1, 1)/U (1) может быть реализовано как единичный диск D = [z Є С: I 2 I < 1}. Покажите, что действие группы SU (1, 1)
«, PGC, I«I2 — I?I2 = 1 ^
6 ?z + а К '
§ 2.5. Покажите, что метрический тензор Римана на пространстве D предыдущей задачи имеет вид
(1-М2Г26,7.
^ = O-M2)2 (5)
/ га ?"
8 = _ _
V ? а_ 166
Г лава 5
и что элемент объема dp на D задается формулой
dp(z) = У (detg) Ax Ay = [I - (X2 -І-у2)}'2сіх Ay. (6)
§ 3.1. Покажите, что инвариантный метрический тензор g\/fJj на гиперболоиде (2) имеет вид
Qx1 Oxk
Safi(t) = gik-^Г, (7)
где — декартовы координаты на пространстве Минков-
ского MP' ч, в которое гиперболоид (2) вложен и 1^?? — любые «внутренние» координаты на гиперболоиде (например, сферические).
§3.2. Найдите меру на конусе (3), инвариантную относительно SO (3, 1).
§ 3.3. Покажите, что SO (р, ^-инвариантная мера на гиперболоиде (2) имеет вид
P+Q-1
dp (і) - (dot gf/2 П
a=l
гДе g'/p, (t) задается формулой (7). Глава 5
Представления групп
§ 1. Основные понятия
Пусть G — локально компактная сепарабельная унимодулярная топологическая группа, и пусть H — сепарабельное комплексное гильбертово пространство.
