Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 6. Унитарное представление T называют свободным от кратностей, если R (Т, Т) коммутативна.
Заметим, что если T является фактор-представлением и свободно от кратностей, то R (Т, Т) = т. е. в силу леммы
Шура T неприводимо.
Если T свободно от кратностей и дискретно разложимо, то
і
где все Ti взаимно неэквивалентны и неприводимы. Это следует прямо из того факта, что R (Т, Т) содержит в этом случае макси- Представления групп
181
мальное число попарно коммутирующих инвариантных операторов. Итак, в противоположность фактор-представлениям в случае представлений, свободных от кратностей, генераторы алгебры R (Т, Т) обеспечивают разделение представлений с помощью собственных значений.
§ 4. Циклические представления
При анализе свойств представлений заданной группы G полезно разложить представление T на более элементарные составляющие. Для этой цели могут быть полезны циклические представления.
Представление T группы G в Я называют циклическим, если существует вектор V ? H (называемый циклическим вектором для Т), такой, что замыкание линейной оболочки всех TxV совпадает с самим Я. Следующая теорема позволяет сосредоточить наше внимание в случае унитарных представлений только на циклических представлениях.
ТЕОРЕМА 1. Каждое унитарное представление T группы G в H является прямой суммой циклических подпредставлений.
Доказательство. Пусть V1 ? H — любой ненулевой вектор,
и пусть Hvi — замыкание линейной оболочки векторов TxV1, X ? G. Пространство Hvt инвариантно относительно Т. В самом деле, пусть Hvi — линейная оболочка всех векторов Txvx\ тогда для каждого и ? Hvi существует последовательность j ип \ векторов ип ? Hdt, которые сходятся к и. HcfIO, что TxIln Q Hvi. Непрерывность каждого Ty предполагает, что Tmii Тхи. Поэтому вектор Тхи лежит в Illi и, следовательно, HVi инвариантно. Итак, подпредставление ' VlT циклично и V1 — циклический вектор для него. Если HVi = Н, то доказательство завершено. В противном случае выбираем любой ненулевой вектор V2 в Hv1 — H — Hvi и рассматриваем замкнутую линейную оболочку ЯГ2, которая инвариантна относительно T и ортогональна к Hvit и так далее.
Пусть т обозначает семейство всех наборов \HV.\, каждый из которых составлен из последовательности попарно ортогональных инвариантных и циклических подпространств, и упорядочиваем семейство т посредством отношения включения CZ. Тогда т — упорядоченное множество, к которому применима лемма Цорна (см. приложение А. 1), которая гарантирует существование максимального набора [Hv. J c. Из сепарабельности пространства Я следует, что существует не более чем счетное число подпространств в {Я0 J , и их прямая сумма согласно максимальности (Я., ) должна совпадать с II.
1 її ыакс 182
Г лава 5
Используя теорему 1 мы можем теперь дать удобный критерий неприводимости унитарных представлений.
утверждение 2. Унитарное представление T группы GeH неприводимо тогда и только тогда, когда каждый ненулевой вектор и Q H цикличен для Т.
Доказательство. Если T неприводимо, то из доказательства теоремы 1 следует, что каждый ненулевой вектор цикличен для Т. Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что H1 — нетривиальное инвариантное подпространство в Я, и выберем вектор О Ф- V1 Q H1. В силу инвариантности H1 мы имеем TxV1 Q H1. Более того, замыкание линейной оболочки всех TxV1, которое по предположению совпадает со всем Я, содержится в H1. Поэтому мы приходим к противоречию. Следовательно, Я не содержит нетривиальных инвариантных подпространств и поэтому T неприводимо.
Более того, мы имеем следующий удобный критерий унитарной эквивалентности циклических представлений.
утверждение 3. Пусть TuT' — унитарные циклические представления группы G в H и H' с циклическими векторами v Q Я и v' Q H' соответственно. Если
(Txv, v)n =(Т'хи', v')H' для каждого xQ G, (1)
mo T унитарно эквивалентно T'.
Доказательство. Пусть Я (соответственно Я') — линейная оболочка всех векторов TxV (соответственно Т'хv'), которая плотна в Я (соответственно в Я'). Тогда любой вектор и Q H имеет вид
H = t V-IrT4V. (2)
i=i 1
Мы определяем отображение S формулой
п
Su = 2 OLlTxJ)'. (3)
1=1 1
Тогда, согласно (3) и (1),
п п _
Il Su fir = Ъ O^j (Tx v, T'xv')n. = E Oiaj (Т'-л v, v') =
І, J=I 1 і, у =I \ I L Iri
= ? O^j (TxjIjcV, =Wufjfr i, 7=1
Поэтому S — линейное изометрическое (следовательно, непрерывное) отображение, такое, что STxIi = TxSu для всех и ? Я. Представления групп
183
Итак, S может быть однозначно расширено до унитарного отображения S из Я на Я', такого, что ST = T'S. Следовательно, T унитарно эквивалентно T'.
§ 5. Тензорное произведение представлений
А. Тензорное произведение пространств и операторов
1 2
определение 1. Пусть E и E — два векторных простран-
I 2
ства. Пусть E [J E — векторное пространство, элементы которого являются формальными линейными комбинациями
1 2
H<'.„(*, у), xfE, yfE, С конечным ЧИСЛОМ ОТЛИЧНЫХ OT нуля коэффициентов Ca., у ? С.
