Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
TxU(Ij) = и (ух) (5) 170
Г лава 5
подобным образом можно определить правое регулярное представление группы G в L2 (G, р).
Говорят, что представление х -*¦ Tx группы GbH слабо непрерывно, если для произвольных и, V Є H
(Тхи, i>) —> (ТХои, V) при X - > Л'о. (6)
Для унитарных представлений слабая и сильная непрерывности эквивалентны. В самом деле, имеем
Утверждение 1. Пусть T — унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Н. Тогда следующие формулировки эквивалентны:
1° T сильно непрерывно.
2° T слабо непрерывно.
3° Функция X (Т,, и, и) непрерывна в е для всякого и II.
доказательство. Ясно, что 1° =>2° и 2° =>- 3°. Поэтому достаточно показать, что 3° =>- 1°. Действительно, для любых и ? H и х, у ? G имеем
TxU-TyUf = (Тхи, Тхи) — (Тхи, Туи) ~(Туи, 7» [- (7>, 7» =
= 2 (и, и) - 2 Re [TyU, Тхи) < 21 (и, и) - (7>, Tji) | =
= 2 I (и, и) - (Tx—tyu, и) |. (7)
Следовательно, если имеет место 3°, то ввиду (7) || Тхи — Туи || -*--*- 0 при X -*- у. Таким образом, 3° =>- 1°.
Замечание. Для унитарных представлений слабая непрерывность предполагает также сильную левую равномерную непрерывность [см. (2.2.13)]. Действительно,
I Г*« -TyU I = H и -Tx-UjU ||. Следовательно, для произвольного є > 0 существует окрестность Ve точки е, такая, что
I TxU — TyU І < г, как только x~ly f Ve.
Интересно, что унитарное представление х ->¦ Tx группы G может не быть непрерывным. Этот важный факт иллюстрируется следующим примером.
Пример 3. Пусть G = R, и пусть — базис Гамеля *) для R. Положим = 1. Пусть — любой другой базисный элемент, который, ввиду г-независимости базисных элементов, должен быть иррациональным. Ясно, что любой элемент х G может быть записан в виде х = X гоЛа- Рассмотрим отображение
cf: л- -> T1 = ехр (/V2) /, (8)
') Базисом Гамеля в R является (несчетный) базис в R при условии, что R рассматривается как векторное пространство над полем Q рациональных чисел. Представления групп
171
і де х ? G и I — единичный оператор в гильбертовом пространстве Н, в котором действуют операторы Tx. Мы имеем соотношения Txy = TxTy и Te = I. Более того, Tx = I, если х рационально (так как в этом случае х = х^1) и 7V = ехр Ї І. Следовательно, отображение (8) приводит к разрывному унитарному представлению группы GbH.
Замечание. Представления топологической группы G, заданные определением 1, не исчерпывают всех возможных представлений группы G, которые встречаются в теоретической физике или геометрии. Например, если пространством представления является само групповое многообразие, то отображение х Tx, заданное в виде
Тху = ух, или T1xIJ = XxIJ, (9)
удовлетворяет условиям (1) и ввиду непрерывности группового умножения также удовлетворяет условиям непрерывности. Однако отображение X ->- Tx является нелинейным, даже если группа G коммутативна. Следовательно, возникает новый тип представлений группы G. Подобная ситуация имеет место, если, например, G действует на кривом однородном пространстве GIK или на нелинейном дифференцируемом многообразии М. Чтобы отличать их от линейных представлений, их обычно называют реализациями.
Пусть ф — гомоморфизм X ->- Tx из определения 1. Множество К всех элементов из G, удовлетворяющих условию ф (х) = = I, X ? G, называется ядром гомоморфизма ф. Если х, у ? К, то ху ? К и х'1 ? К. Более того, если X ? К и у ? G, то ф (уху"1) =TyTtri = I, т. е. уху'1 ? К¦ Поэтому К является инвариантной подгруппой в G.
Представление х Tx группы G называется точным, если отображение X ->¦ Tx взаимно однозначно. В этом случае K= Если К {е}, то все элементы класса левосмежных элементов хК для фиксированного х ? G представляются одним и тем же оператором, а два разных класса левосмежных элементов — разными операторами. Следовательно, гомоморфизм ф: х T1, который приводит к представлению группы G, не являющемуся точным, может рассматриваться как точное представление факторгруппы GIK, заданное изоморфизмом ф: хК ->- T1.
Заметим, что простые группы Ли с тривиальными дискретными центрами, в частности SU (n)/Zn, где
Z„ = |exp k= 1, 2, . . ., /г— lj,
не имеют инвариантных подгрупп. Следовательно, все представления простых групп Ли с тривиальными дискретными центрами являются либо точными, либо тривиальными. 172
Г лава 5
Матричная форма представлений
Пусть {єі\і, N < оо, — ортонормированный базис в пространстве H представления. Оператор Tx, х ? G, переводит базисный элемент Cj в TxCj ? Я. Последний может быть представлен в виде
TxCi = Dii(X)eh j=\,2,...,N. (10)
Следовательно,
Dli (л) = (7>,., Ci), i, j = 1, 2, . . ., N. (11)
Поэтому оператор Tx в базисе IetIf может быть представлен конечной или бесконечной матрицей [Dii (х)]. Из утверждения 1 следует, что каждый матричный элемент (11) является непрерывной функцией на G. Матрица оператора Txv является произведением матриц (11), т. е.
Dij(XlJ) -: Dui(X)Dki (у). (12)
Действительно,
Dii (ху) = (Tsueh Ci) = (TxTyeh Ci) - (Туе-,, Tlci) = = (TyCi, ек) (ек, Tlel) --- [ТIjCj, с) (T1Cek, Ci) = = Dik (X) Dlii (у).
