Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
1) L — алгебра Ли для G;
2) с — инволютивный автоморфизм в L;
3) множество /( = {X ? L: с (X) = X} является компактной подалгеброй в L, и К, P удовлетворяют коммутационным соотношениям (4).
Пара (L, о) называется ортогональной симметрической алгеброй Ли.
Сопоставление ортогональной симметрической алгебры с глобально симметрическим римановым пространством Г позволяет свести задачу классификации этих пространств к задаче классификации ортогональных симметрических алгебр.
Глобально симметрическое риманово пространство называют неприводимым, если соответствующая ортогональная симметрическая алгебра Ли удовлетворяет следующим условиям:
1) L — полупроста, а К не содержит отличных от 0 идеалов из L;
2) К — максимальная собственная подалгебра в L.
пример 2. Пусть Hn — множество всех положительно определенных эрмитовых матриц порядка п с единичным детерминантом. Рассмотрим движения в Hn, заданные формулой
h^hg = ghg*?Hn,
(10)
где g ? SL (п, С). Проверяется, что SL (п, С) действует транзитивно на Hn. Стационарная подгруппа H точки In ? Hn совпадает, согласно (10), с множеством всех матриц, удовлетворяющих условию In = gg*, т. е. с подгруппой SU (п). Инволютивный автоморфизм а в SL (п, С), который оставляет каждую точку из SU (п) неподвижной, задается формулой a (g) = g*'1. Поэтому GIH — глобально симметрическое риманово пространство, которое, согласно теореме 1.1, гомеоморфно H11. Так же проверяется, что ортогональная симметрическая алгебра (si (п, С), о) непри-водима. Следовательно, глобально симметрическое риманово пространство SL (п, C)/SU (п) неприводимо.
Картан показал, что задача классификации глобально симметрических римановых пространств может быть сведена к задаче классификации неприводимых пространств, и решил последнюю задачу [161—165]. В табл. 1 мы перечисляем компактные и не- Однородные и симметрические пространства
159
компактные неприводимые глобально симметрические римановы пространства (типы I и III в классификации Картана), группы преобразований которых являются простыми вещественными связными классическими группами Ли.
Таблица 1
Неприводимые глобально симметрические римановы пространства, группы преобразований которых являются простыми вещественными связными группами Ли
Компактные Некомпактные Ранг Размерность
SU (rt)/SO (п) SL (n, R)lSO (n) «—1 (n—1) (n+2)/2
SU (2n)/Sp (п) SU* (2n)/Sp (n) «—1 (n-1) (2n+l)
SU (p+q)lS (U (p)xU (q)) SU (p, <?)/S (U (p)xU (q)) min(p, q) 2pq
SO (p+9)/SO (p)xSO («?) SO0 (p, ф/SO (p)XSO (q) min(p, q) PQ
SO (2n)/U (n) SO* (2n)/U (n) [n/2]] n (n—1)
Sp («)/ U (n) Sp (n, R)lU (n) n n (n+1)
Sp (p+<?)/Sp (p) X Sp (g) Sp (p, 9)/Sp (p) X Sp (q) min(p, q) 4 pq
Все пространства в табл. 1 односвязны. Мы не включили в табл. 1 симметрические пространства, сопоставляемые с исключительными группами, поскольку ниже мы их не используем.
В дополнение к перечисленным неприводимым симметрическим пространствам существуют еще два других класса. Первый класс состоит из неприводимых глобально симметрических ри-мановых пространств, которые являются простыми компактными связными группами Ли (тип II). Последний класс (тип IV) содержит неприводимые глобально симметрические римановы пространства, которые являются пространствами GIH классов смежных элементов, где G — связная группа Ли, алгебра Ли которой совпадает с вещественной формой (L)R простой комплексной алгебры Ли L, a H — максимальная компактная подгруппа в G.
Следует также заметить, что изоморфизмы комплексных и вещественных простых алгебр Ли низших размерностей (см. гл. 1, § 5, табл. 1) предполагают ряд совпадений симметрических пространств низших размерностей; например,
SU (2, 2)/S(U(2) X U (2))-SO0 (4, 2)/SO(4) X SO (2)
(соответствует изоморфизму Su (2, 2) ~ so (4, 2)). Полный список совпадений см. в [390], гл. IX.
В табл. 2 мы перечисляем симметрические пространства с некомпактными стационарными подгруппами. 160
Г лава 5
Таблица 2
Симметрические пространства G/H с некомпактной стационарной группой
\ о
«\ SL (л, С) SL (л, R) SU (р, ?)
SO (п, С) SL (р, R)xSL(q, R)\R* SU (к, к І /і): Sil (р -ft,
п—ft- A)xU (1)
SL (п, R) SO (р, о) SO (р, 9)
SL (р, QxSL (о, QxC1 Sp (n/2, R) Sp (р/2, 9/2)
SU (р, q) Sp (п/2, С) X І? SO*(n) )
Sp (п/2, С) Sp (п, Я) P= 9= п/2
SU* (п) SL(fi, Qxi?1 J
X SU* (и) SO (л, С) SO <р, ?)
SU* (P)XSU* (q)x R1 SO (р, QxSO (q, С)
р= 1 или р > 2, q > 2
Sp (р/2, ?/2) SO* (п)
SL (п, С) X U(I)
SO (п—2) X C1 SO (р, q) SL (n/2, QxC1 SO* (п) SO* (n/2, С)
SU (p, q)X U(I)
SO (p, и-/і) X so (p—k,
n—k—h) k+h > 2, n—k—h > 2
SO (p—2, 9)xU(l) S0(p-1, q—VxR1 SU (p/2, ?/2)XU(I) SL (n/2, R)xR1\ P= q= SO (n/2, C) J =n/2
S0(n-2)XU(1)}JZ2_2
\ «
н\ Sp (л, С) Sp (л. A) Sp (р, ?)
SL (n, QxC1 Sp (n, R)
Sp (p, C)XSp (q, C) Sp (p, 9)
Sp (p, tf)xSp (q, R)
SU (p, <?)xU(l) SL (n, R)xR1 Sp (n/2, Q
SU* (U)XR1A „_ Sp (n/2, C) I/ P 4
Sp (ft, /г+/г)X Sp (p—ft,
n—k—h) SU (p, 9)XU(1)
n/2
Замечание, p q = n. R1(Ct) — аддитивная группа вещественных (комплексных) чисел. Там, где стоит л/2, р/2..... пир четные.
