Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Каждое представление имеет по крайней мере два инвариантных подпространства: нулевое пространство {0} и все пространство Я. Эти инвариантные подпространства называют тривиальными. Нетривиальные инвариантные подпространства или подмножества называются собственными. Теперь мы введем понятие неприводимости, которое играет существенную роль в теории представлений.
Определение 1. (Алгебраическая неприводимость.) Представление X -V Tx группы G в Я называют алгебраически неприводимым, если оно не имеет собственных инвариантных подмножеств в Я.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. (Топологическая неприводимость.) Представление X Tx топологической группы GbH называют топологически неприводимым, если оно не имеет собственных замкнутых инвариантных подпространств.
Ясно, что алгебраическая неприводимость предполагает топологическую неприводимость. Представление, которое имеет собственные инвариантные подпространства, называют приводимым. Ниже термин «неприводимое» («приводимое») обозначает тополо- 176
Г лава 5
гическую неприводимость (приводимость) представлений, если не утверждается другое.
По крайней мере два новых представления могут сопоставляться с каждым топологически приводимым представлением. Первое получается ограничением каждого Tx до замкнутого подпространства H1. Это представление называется подпредставле-нием в T и обозначается через "1T. Второе может быть реализовано в фактор-пространстве HIH1. Действительно, поскольку H1 инвариантно, класс смежных элементов и -[- H1 переводится оператором Tx в Тхи -f H1 ? HIH1, т. е. HlH1 также является инвариантным пространством.
Пусть H — гильбертово пространство, a H1 — собственное инвариантное подпространство. Ортогональное дополнение Hі к H1 может в общем не быть инвариантным подпространством в Н. Однако если представление х Tx в H унитарно, то Hi инвариантно. Действительно, имеет место следующее утверждение.
утверждение 1. Пусть х -»- Tx — унитарное представление любой группы G в гильбертовом пространстве Н. Пусть Hi — подпространство є Н, и пусть P1 — проективный оператор в H с областью значений H1. Тогда
1° Ортогональное дополнение Hi к Hi инвариантно тогда и только тогда, когда инвариантно H1.
2° H1 инвариантно тогда и только тогда, когда P1Tx = TxP1 для каждого х ? G.
Доказательство. 1°. Пусть H1 инвариантно. Тогда при и ? Hi, v ? НІ для всякого Tx имеем
(Txv, и) - (V, Т*хи) = (V, tjr-u) = о,
так как Tx-ш ? Н\. Следовательно, Hi также инвариантно. Обратное утверждение следует при замене ролей подпространств H1 и Ні.
2°. Пусть H1 инвариантно и и ? Я. Тогда TxP1U ? H1 для каждого x^Gn P1TxP1U = TxP1U. Поскольку и произвольно, то мы имеем P1TxP1 = T P1. Взяв сопряжения от обеих частей, получаем, что PiTI-P1 = PiTx или Pi7V-Pi = Pux-,. Положив у = X'1, мы имеем P1Ty = P1TtlP1 = TyP1 для каждого у Є G. ^Обратно, если P1Tv = TxP1 для каждого х ? G, то при U1 Є H1 мы получаем TxIi1 = TxP1U1 = P1TxU1 ? H1. Следовательно, H1 инвариантно.
Следующий пример показывает, что предположение унитарности в утверждении J существенно, т. е. для неунитарных представлений ортогональное дополнение к инвариантному подпространству в общем не инвариантно. Представления групп
177
Пример 1. Пусть G = T?1, и пусть Я — двумерное вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (и, t>) = = U1V1 -[- U2V2. Мы представляем R1 в Я треугольными неунитарными матрицами
R'3 A-
1 Л- 'и, 'U1 -J- XU2
о 1. т. е. Tx U2 —- U2
(1)
Из (1) следует, что подпространство H1, состоящее из векторов
U1
, инвариантно относительно Т, тогда как ортогональ-
и =
О
ное дополнение H^, состоящее из векторов и
не инва-
риантно.
Гильбертово пространство H является прямой суммой подпространств H1, H2, ..., т. е.
11 JI1O H2Qj..- HdJlih (2)
і
если выполнены следующие условия: 1° Ili J. Hj для і ф j.
2° Каждый элемент и ? H разлагается в сходящийся ряд
" = u "і, где Ui^Hl. і
Определение 3. Представление T группы С в гильбертовом пространстве H называют прямой суммой представлений T1 группы G в Hi, если Hi — инвариантные подпространства в Я,
такие, что Я = 2 © Iii, и если каждое Ti является подпредстав-і
лением представления Т. В этом случае мы пишем
(3)
і
Представление T группы G в Il вполне приводимо (или дискретно разложимо), если оно может быть выражено в виде прямой суммы неприводимых иодпредставлений. Приводимые конечномерные представления, которые не являются вполне приводимыми, называются неразложимыми представлениями (см. пр і-
мер 1). Если мы возьмем в качестве базисных векторов в Hi
і
базисные векторы ортогональных подпространств Hi, то увидим, 178
Г лава 5
что матричное представление вполне приводимого представления имеет вид
'D1(A) 0 •• . 0 ••
0 D2(A) •• • 0 •
0 0 •• • Di (X) -
где каждое D1 (л) неприводимо. Пример 1 показывает, что приводимое представление не обязательно должно быть вполне приводимым. Однако для унитарных конечномерных представлений имеет место
Следствие 2. Конечномерное унитарное представление любой группы вполне приводимо.
