Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Полная классификация симметрических пространств, включая симметрические пространства, сопоставляемые с исключительными простыми группами Ли, разработана Бергером [110]. Однородные и симметрические пространства
161
§ 3. Инвариантные и квазиинвариантные мерь; на однородных пространствах
Пусть X — однородное пространство, группа преобразований которого является локально компактная сепарабельная группа G. Из теоремы 1.1 мы знаем, что X изоморфно пространству классов смежных элементов H\G или G/H, где H — стационарная подгруппа точки X0 ? X.
Пусть S — подмножество в X - H\G. Под «сдвигом» подмножества S элементом g (z G мы понимаем множество Sg = {xg: : X ? S}. Пусть dp (х) — положительная мера на X; определяем меру dpg (х) = dp (xg) как меру, заданную следующей формулой:
Pg (/) = J / (*) dp (xg) = J / ( Vg'1) dp (X) для всех f ? C0(X). (1)
X X
Другими словами, pg (S) = р (Sg) для каждого борелевского множества S в пространстве X.
Мы видели, что на каждой локально компактиой топологаче-ческой группе существует инвариантная мера (см. теорему 2.3.1). Следующий пример показывает, что на однородном пространстве инвариантная мера может не существовать.
Пример 1. Пусть G — группа треугольных вещественных матриц вида
О
g
и пусть
H ¦
а
«>0,
(2)
О
У-I
а
О сг
Каждый элемент g ? G может быть представлен в виде (разложение Макки из теоремы 2.4.1)
Г 1 О
(3)
Поэтому каждый элемент из правого класса смежных элементов Hg может быть однозначно представлен точкой х = уа вещественной
' R. Поскольку элемент 1 0.
то мы получаем
"а 0 " 1 0 "
g = 0 сГ1 уа 1 .
прямой R. Следовательно, X = H\G X ? X соответствует групповому элементу действие группы GbX согласно формуле
ЇІ-
1 о - "а 0 - а 0 " "а 0
X 1 у а'1 ах у а-1 0 а-1
осу
или
g: X —> Ci2X ау.
]¦
(4)
(5) 162
Г лава 5
Инвариантная относительно G мера на X должна быть, в частности, инвариантной относительно преобразований х х -f- у; поэтому она должна быть пропорциональна мере Лебега на R (см. упражнение 2.3.3). Однако такая мера не может быть инвариантной относительно гомотетических преобразований х -*- а2х. Следовательно, не существует инвариантной относительно G меры dp (х) на X.
Отсутствие инвариантных мер на однородных пространствах приводит к понятию квазиинвариантных мер.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Положительная мера dp (х) на X называется квазиинвариантной, если мера dpg (х) = dp (xg) и dp (х) эквивалентны для каждого g ? G.
Замечание. Положительные меры dpx и dp2 называются эквивалентными, если они имеют одни и те же множества меры нуль. Согласно теореме Радона—Никодима (приложение А.5), тогда существует функция р (х) Ss 0, такая, что
dpi(*) = p(x)dp2(x). (6)
Функция р (х) = dpx (x)/dp2 (х) называется производной Радона— Никодима.
Следующая теорема описывает основные свойства квазиинвариантных мер на однородных пространствах.
Теорема 1. Пусть G—локально компактная сепарабельная группа, H — замкнутая подгруппа в G и X = Н\G. Тогда: 1° Существует квазиинвариантная мера на X, такая, что производная Радона—Никодима dp„ (x)/dp (х) является непрерывной функцией на GxX.
2° Любые две квазиинвариантные меры на X эквивалентны. 3° Все квазиинвариантные меры могут быть получены следующим образом: пусть р (g) — строго положительная локально интегрируемая борелева функция, удовлетворяющая условию
дн (ft)
V (hg) = P (g) для всех h ? Н, (7)
где Дя и Ag — модулярные функции для HuG соответственно. Тогда р связано с квазиинвариантной мерой р на X формулой
If(B)P(В) dВ = J dp (В) J /(hg) dli, g = Hg, / ? C0(G). (8)
G XH
Мера р удовлетворяет условию
dp (ЙҐ) = 2^y Ф (В) (9)
и для заданного р определяется однозначно с точностью до мультипликативной константы.
(Доказательство см. в [544] и 1552].) Однородные и симметрические пространства
163
Следующее следствие дает удобный критерий существования инвариантной меры на пространстве X = H\G.
Следствие 1. Инвариантная мера р на однородном пространстве X = H\G существует тогда и только тогда, когда Ag (H) = = Дя (h) для всех h ? Н. С точностью до мультипликативной константы эта мера определяется однозначно и удовлетворяет условию
J fig) dg = J dp ig) J f (hg) M, g = Hg. (10)
G XH
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно для каждого g из (8) взять P (g) = 1- В частности, если GuH унимодулярны, то Ag(Zi) = = Ah (И) = 1 и X = H\G обладает инвариантной мерой.
Пример 2. Пусть G = SO (З, 1) и H = SO (3). Однородное пространство X = H\G может быть представлено в виде гиперболоида
Xo — Xi — х\ — х§ = р2 > 0 (11)
(см. упражнение 1.2). Поскольку GuH унимодулярны, то для всех h ? H мы имеем Ag (ІЇ) = A11 (Ii) = 1. Следовательно, в силу следствия 1 X обладает инвариантной мерой.
Теперь вычислим явный вид инвариантной меры dp на X = = H\G. Раньше свяжем поверхность (Il) второго порядка с дифференциальной формой dp, определенной формулой
dx0 dxt сіл*о dx3 = d (XpXp) dp == d/d (xpxp) dxL dx2 dx3. (12)
