Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Барут А. -> "Теория представлений групп и ее приложения. Том 1" -> 62

Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 — М.: Мир, 1980. — 452 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapredstavleniyt11980.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 153 >> Следующая


Доказательство. Если H1— собственное инвариантное подпространство в Н, то по утверждению 1 Hj- также инвариантно и H = H1 @ Hj-. Если H1 или Hj- содержит собственное инвариантное подпространство, то мы снова используем утверждение 1 до тех пор, пока не получим разложение на неприводимые инвариантные подпространства при условии, что этот процесс имеет конец (что имеет место в конечномерном случае).

Следующее утверждение существенно для теории представлений групп.

утверждение 3 (Лемма Шура). Пусть TuT'- унитарные неприводимые представления группы GeHuH' соответственно. Если S — ограниченный линейный оператор из H в H', такой, что

STX = T'XS для каждого x?G, (5)

то или S — изоморфизм гильбертовых пространств HuH' (т. е. T ^ T'), или S = 0.

Доказательство. Сопряжение соотношения (5) дает TS* = = S*T'. Поэтому положительно определенный эрмитов оператор V = S*S коммутирует с Т.

Если V=J ^dE (X) — спектральное разложение оператора V, то ТЕ (X) = E (к)Т. Следовательно, каждое замкнутое подпространство H (X) = E (X) H инвариантно. Так как H неприводимо, то H (X) совпадает с H или с нулевым пространством {0}. Это предполагает, что V = X/. Подобным образом получаем, что V' = = SS* = Х7'. Так как IS = SS*S = X'S, то или X = X', если S ф 0, или S=Ob противном случае. В первом случае, поло- Представления групп

179

жив U = получаем U*U = I и UU* = /'. Поэтому S —

изоморфизм пространств Я и Я' и, согласно определению 2.1, имеем T ~ 7".

Лемма Шура 3 предполагает следующий критерий неприводимости.

утверждение 4 (Лемма Шура — унитарный случай). Унитарное представление T группы G в Ii неприводимо тогда и только тогда, когда единственными операторами, коммутирующими со всеми Tx, являются операторы, кратные единичному оператору.

Доказательство. Если STx = TxS, то S*TX = TxS*. Поэтому самосопряженные операторы S1 = (S -f- S*)l2 и S2 = (S —

— S*)/2i также коммутируют со всеми Tx. Следовательно, по утверждению 3 S = X1I -f X2I = XI. Обратно, если каждый оператор S, коммутирующий с Т, имеет вид XI, то проективный оператор Р, коммутирующий с Т, совпадает с / или 0. Поэтому, согласно утверждению 1.2°, единственными замкнутыми инвариантными подпространствами являются нулевое пространство или все пространство Н. Следовательно, T неприводимо.

Результат утверждения 4 позволяет дать новое определение неприводимости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2'. Унитарное представление T группы G в H неприводимо, если единственными операторами, коммутирующими со всеми Tx, являются операторы, кратные единичному оператору. Эта формулировка неприводимости называется операторной неприводимостью представления Т.

Утверждение 4 имеет следующий аналог для конечномерных (унитарных или нет) представлений.

Утверждение 5. (Лемма Шура — конечномерный случай). Пусть T — неприводимое представление группы GeH, dim H <оо. Единственными операторами, коммутирующими со всеми Txy являются операторы, кратные единичному оператору.

Доказательство. Пусть

STx = TxS для всех XQG, (6)

и пусть N = \и Q Н: Su = 0|. В силу (6) мы имеем

{01 = 7,S/V = S7a,V.

Следовательно, Tx N с N, т. е. N — инвариантное подпространство в Я. Поскольку T неприводимо, то N равно {0} или Я. Поэтому S является изоморфизмом или S = O. Теперь пусть S — любой изоморфизм, который коммутирует со всеми Tx, и пусть X -j= 0 — собственное значение изоморфизма S. Ясно, что (S —

— XI) не является изоморфизмом на Я, поэтому (S — XI) = 0. 180

Г лава 5

Приводимые представления

Существует полезная классификация приводимых представлений, согласованная со свойствами центра CR (T, Т) алгебры R (Т, Т) переплетающих операторов. Мы начнем со случая, когда CR (Т, Т) минимален.

Определение 4. Представление T группы G является фактор-представлением, если центр алгебры R (Т, Т) содержит только кратные единичного оператора. Представления этого типа называют примарными представлениями.

Ясно, что неприводимое представление является фактор-представлением. Следующее утверждение дает интересную особенность фактор-представлений.

Утверждение 6. Пусть T — фактор-представление, которое содержит неприводимое подпредставление V- Тогда существует целое число п, п = /, 2, 3, ..., такое, что T nV = V© V® (V) Vff)... ff) V (n слагаемых).

(Доказательство см., например, в [682], утверждение 6.14.)

Этот результат предполагает следующее определение так на-зьваемых фактор-представлений типа I.

Определение 5. Если фактор-представление содержит неприводимое подпредставление, то говорят, что оно типа I. Группа G является группой типа /, если она имеет фактор-представления только типа I.

В этой книге мы будем иметь дело исключительно с фактор-представлениями типа I. Фактор-представления типа I появляются наиболее часто в применениях в задачах редукции тензорных произведений представлений. Тогда нам нужны дополнительные инвариантные операторы (квантовые числа), чтобы разделить факторы пТ» на неприводимые части. Мы имеем дело с этим в § 5 и в гл. 18, § 2.

Другой интересный класс представлений получаем в случае, когда центо алгебры R (Т, Т) наибольший, т. е. если он совпадает со всей R (Т, Т).
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 153 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed