Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
о о
где а—положительное число. Удобно рассмотреть более общий интеграл
а а
F (X1, ..., Xn) хїх'+т>.. . х^п+ тп ф (X) dx,... dxn.
о о
6 В. И. Арнольд и др. 162
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
Пусть N—большое натуральное число. Сделаем преобразование
F= J . . . j ? Ы1 + т1 + , + 1 X
оо Л= о
а а
X1Jr J. . . j . (0, AT2, - . ., хп) dx,. . .dxn, (9)
0 0 1
где —разность функции ф и ее многочлена Тейлора стеиени N по X1.
Первый из этих интегралов не имеет особенностей по A1 при Ці+"іі+Л/+1>0, а полюсы по X1 других членов в правой части принадлежат первой из указанных в лемме прогрессий. Повторяя последовательно с каждым интегралом в правой части ту же процедуру по другим переменным, а затем полагая Aa=A2=- • • = =Xn=X, получим первую часть леммы. Это рассуждение позволяет явно аналитически продолжить интеграл в окрестность наперед заданной точки комплексной прямой (см. [41]). Каждый коэффициент разложения Лорана в произвольной точке прямой равен сумме интегралов функции ф и ее производных по некоторым координатным подпространствам. Это означает вторую часть леммы.
Лемма 4. Пусть число A0 принадлежит ровно г арифметическим прогрессиям леммы 3. Пусть для определенности это — первые г прогрессий, и A0=—(тх+Z1+l)/ki=. . .=—(mr+/r+l)/^r, где I1, . . ., It — некоторые неотрицательные целые числа. Тогда коэффициент при (X—X0) ~г разложения Лорана в точке X0 функции F равен
ПГ 1 1 f С Ykr + lt+mr + l
)=,Wv J "
XJ=. 0
І =I.....г
где (5 )?,=? означает аналитическое продолжение интеграла в скобках в точку X0.
Лемма 4 -— следствие формулы (9).
Лемма 5. 1. Пусть ? = max{—(/Tc1+!)/^, . . ., —(ma-\-\)lkn} — максимальное число объединения арифметических прогрессий леммы 3. Предположим, что число ? принадлежит ровно г арифметическим прогрессиям леммы 3. Предположим, что амплитуда ф в интегралах F+, F_ неотрицательна и положительно ее значение в начале координат. Тогда положительна сумма коэффициентов, стоящих при (X—?)-7, в разложениях Лорана функций F+ и F_, и каждый из этих коэффициентов неотрицателен. §7]
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ
163
2, Пусть среди чисел U1 . . ., kn в точности одно равно 1. Пусть это — H1. Пусть Я0 — число, принадлежащее первой прогрессии леммы 3 и не принадлежащее ни одной другой прогрессии леммы 3. В частности, это означает, что А,0=—(mx+/+1), где I — неотрицательное целое число. Обозначим через а+, а~ коэффициенты, стоящие при (Я—Я0)_1 в разложениях Лорана в точке X0 соответственно функций F+, F_. Тогда а+ = (—1 )l а~.
3. Пусть f имеет минимум в начале координат, т. е. f = = + x\l.. ¦ где все показатели четны. Тогда F_ (Я) = 0. Кроме того, если ?, г, ф—те же, что и в пункте 1, то больше нуля коэффициент, стоящий при (X—?)-' в разложении Лорана функции F+.
Эта лемма — очевидное следствие леммы 4 и разбиения интегра лов F+, F_ в сумму интегралов по координатным октантам.
В. Асимптотики элементарного осциллирующего интеграла.
Теорема 3 (ср. [18]). 1. Элементарный осциллирующий интеграл (см. (5) на стр. 159) при х-*- +оо разлагается в асимптотический ряд
S "sVaM ^ (In т)*, (10)
a a = o
где числовые коэффициенты ak а являются обобщенными функциями амплитуды ф, а параметр а пробегает арифметические прогрессии леммы 3. Если число а принадлежит ровно г арифметическим прогрессиям леммы 3, то аи, а==0 при K^r.
2. Пусть ?=max {—(/Tz1+1)/^, . . ., —(,mn-\-l)/kn} — максимальное число объединения арифметических прогрессий леммы 3. Пусть г — число арифметических прогрессий леммы 3, которым принадлежит ?. Предположим, что ? не является нечетным целым числом. Предположим, что амплитуда ф неотрицательна и положительно ее значение в начале координат. Тогда вещественная часть числового коэффициента старшего члена асимптотического ряда (т. е. вещественная часть числа р) не равна нулю и имеет тот же знак, что и число cos (n?/2), таким образом, знак вещественной части определяется числом ?.
3. Пусть A1= 1 и тх четно, т. е. пусть гиперповерхность X1=O не принадлежит критическому множеству фазы элементарного интеграла и не принадлежит подмножеству, на котором подынтегральное выражение элементарного интеграла не является гладким. Тогда в разложении (10) число а пробегает только арифметические прогрессии леммы 3 с номерами 2,..., п.
4. Пусть фаза элементарного интеграла имеет минимум в начале координат, т. е. пусть /=+х*>. . .xknn, где все показатели четны. Пусть амплитуда ф неотрицательна и положительно ее значение в начале координат. Тогда числовой коэффициент старшего
б* 164
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
члена асимптотического ряда (т. е. число ar-lt не равен нулю и имеет тот же аргумент, что и число ехр(—m'?/2), где числа ?, г определены в пункте 1; таким образом, аргумент коэффициента определяется числом ?.
Теорема 3 легко выводится из теорем 1, 2, лемм 3, 5 с помощью следующих стандартных формул. Пусть 6: R->-R — гладкая функция с компактным носителем, тождественно равная 1 в окрестности начала координат. Тогда при т->-+оо с точностью до бесконечно малой сколь угодно высокого порядка
