Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
е"Ча(In t)kQ(t)dt
еШ (_ t)a. (jn f))A Є (І) dt
dk Г(а+1) dak (— г'т)а+і '
d* Г (a -f 1) da11 (іт)а+і '
(U)
В этих формулах arg (+гт)=+:1/2, Г — гамма-функция (см. [96]).
Г. Асимптотики элементарного интеграла Лапласа.
Определение. Элементарным интегралом Лапласа называется интеграл
5 g-«?'-..., XjdX1...dxn,
R п
где ku . . ., kn, т1, . . ., тп — неотрицательные целые числа, ki, . . ., kn четны, ^i+. . .+?„^2, ф — гладкая функция с компактным носителем, т—вещественный параметр.
Теорема 4. 1. Элементарный интеграл Лапласа при т — ->- +оо разлагается в асимптотический ряд (10), обладающий свойствами, указанными в заключении пункта 1 теоремы 3.
2. Пусть амплитуда ф неотрицательна и положительно ее значение в начале координат. Тогда в асимптотическом ряде элементарного интеграла Лапласа положителен числовой коэффициент при старшем члене (т.е. коэффициент аг_где числа г, ? определены в пункте 2 теоремы 3.
Доказательство теоремы 4 совпадает с доказательством теоремы 3, ссылки на формулы (11) нужно заменить ссылками на формулу (см. [96])
JV^a (In /)*6(0 dt
dй Г(а+1)
'da* та+1
7.3. Асимптотики и разрешение особенностей.
А. Вес разрешения особенностей и набор кратностей. Рассмотрим функцию / : R" -*- R, аналитическую в окрестности своей критической точки х. Предположим, что§7] РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ
165
значение функции в этой точке равно 0. Рассмотрим разрешение особенностей этой критической точки (см. п. 6.4). Введем характеристики разрешения особенностей, через которые выразим показатель осцилляции критической точки, его кратность и множество показателей.
Разрешение особенностей — это многообразие Y и его отображение л: V-»-Rn, обладающие свойствами, указанными в п. 6.4. В малой окрестности прообраза критической точки х рассмотрим разложение на неприводимые компоненты гиперповерхности нулевого уровня функции /ол. С каждой неприводимой компонентой, пересекающейся с прообразом точки х, корректно связаны два неотрицательных целых числа: кратности нулей на этой компоненте соответственно функции /оя и якобиана отображения л. Эти числа обозначим соответственно через k, т. Упорядоченная пара (k, т) называется кратностью компоненты, число —(m-\-\)lk называется весом компоненты.
Определение. Набором кратностей разрешения особенностей называется множество всех попарно различных кратностей, обладающих свойством: (k, т)Ф( 1, 0), k>Q.
Набор кратностей обозначим через Kp.
Определение. Весом разрешения особенностей называется максимум весов компонент, кратности которых обладают свойством: (k, т)Ф(\, 0), ?>0. Таким образом, вес разрешения равен числу шах {—(m+l)/k\(k, т)?Кр}.
Замечание. Набор кратностей конечен в силу собственности отображения я.
Пример. Пусть / — однородный многочлен степени N, имеющий в начале координат конечнократную критическую точку. Пусть л: 7->-Кл — сг-процесс в начале координат (см. п. 4.3, а также § 4 главы II в [115]). Это отображение разрешает особенности многочлена в начале координат. Набор кратностей разрешения состоит из одной пары (N, п—1). Вес разрешения равен —n/N.
Определим понятие кратности числа относительно разрешения особенностей. Для этого сначала определим понятие кратности числа в точке прообраза критической точки.
Пусть а — число, у — точка прообраза (относительно отображения разрешения) критической точки х. Рассмотрим малую окрестность точки у и разложение в ней на неприводимые компоненты гиперповерхности нулевого уровня функции /оя. Кратностью числа а в точке у называется число пересекающихся в ней неприводимых компонент веса а. Кратностью числа а относительно разрешения особенностей называется максимум кратностей числа а в точках прообраза критической точки л:. Очевидно, что кратность числа является целым числом, заключенным в пределах от 0 до п.
Пример. Рассмотрим критическую точку и ее разрешение, указанные в предыдущем примере. Пусть пфЬІ. Тогда кратность166
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
числа — n/N относительно указанного разрешения равна 1. Кратность числа —1 равна 0, если функция f знакоопределена, и равна 1 в противном случае. Кратности остальных чисел равны 0.
Б. Асимптотиче с'к ий ряд осциллирующего интеграла.
Теорема 5 (см. [18]). Рассмотрим осциллирующий интеграл
Предположим, что фаза — аналитическая функция в окрестности своей критической точки. Предположим, что значение фазы в этой критической точке равно 0. Рассмотрим разрешение особенностей критической точки. Утверждается-, если носитель амплитуды сосредоточен в достаточно малой окрестности критической точки фазы, то
1. Осциллирующий интеграл разлагается в асимптотический ряд
Числовые коэффициенты aft> а являются обобщенными функциями амплитуды. Носитель каждой обобщенной функции лежит в критическом множестве фазы. Параметр а пробегает следующие арифметические прогрессии. Одна из них — отрицательные целые числа, а другие параметризуются элементами набора кратностей разрешения особенностей критической точки фазы. Паре (k, т) отвечает арифметическая прогрессия —(/л+l)/k, —(m+2)/k, ...