Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, на парах точек карт задано отношение эквивалентности. Определим на множестве классов эквивалентности топологию и структуру аналитического многообразия. Каждая карта естественным образом вкладывается в качестве подмножества в множество классов эквивалентности. Скажем, что множество открыто, если открыты его пересечения со всеми картами. Из леммы 2 легко следует, что это определение задает на множестве классов эквивалентности структуру хаусдорфова топологического пространства. Вложения карт определяют покрытие топологического пространства открытыми множествами и определяют гомеоморфизмы этих множеств и IR". По построению функции перехода, связанные с этими гомеоморфизмами, являются мономиальными отображениями в области определения. Таким образом, по простому вееру мы построили аналитическое многообразие. Это многообразие будем называть многообразием, ассоциированным с простым веером.
Задача. Докажите, что (IRi51)" и IR/3" являются многообразиями, ассоциированными с веерами, изображенными соответственно на рис. 67 ,а, б.
Г. На многообразии, ассоциированном с простым веером, действует тор. Пространство (К.\0)" относительно покоординатного умножения образует группу, называемую n-мерным тором. Тор действует сам на себе. Его действие естественно продолжается на IR". 176
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
Рассмотрим многообразие, ассоциированное с простым веером. На картах многообразия действует тор. Легко видеть, что это действие продолжается до действия тора на всем многообразии. Опишем орбиты этого действия.
Имеется одна n-мерная орбита — изоморфная тору. В произвольной карте это (RS4O)'1.
(п—1)-мерные орбиты находятся во взаимно однозначном соответствии с одномерными конусами простого веера. Действительно, каждая карта пересекается с п (п—1)-мерными орбитами. Их замыкания в локальных координатах совпадают с координатными гиперплоскостями. Поставим в соответствие (га—1)-мерной орбите, лежащей в гиперплоскости Xj=0, вектор с номером j скелета конуса, отвечающего карте. (Напомним, что векторы скелетов конусов веера упорядочены.)
Лемма 1. Это соответствие корректно определяет взаимно однозн ачное соответствие между множеством (п—V)-мерных орбит и множеством одномерных конусов простого веера.
2. Замыкание~ произвольной (п—1 )-мерной орбиты — (п—1)-мерное подмногообразие.
Доказательство. Рассмотрим две карты многообразия и функцию перехода из первой карты во вторую. Пусть (п—1)-мерная орбита, лежащая в первой карте, переходит в (п—^-мерную орбиту, лежащую во второй карте. Пусть для простоты обозначений эти орбиты и в первой, и во второй картах лежат в гиперплоскостях Xi=O. Докажем, что им соответствует один и тот же
одномерный конус. Действительно, функция перехода-MOHO-
миальное отображение. По предположению в первом столбце матрицы мономиального отображения все элементы нулевые, кроме первого, который равен 1. Это по определению функций перехода означает, что в скелетах конусов, отвечающих двум картам, первые векторы одинаковы, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что, если в разных картах (п—1)-мерные орбиты соответствуют одному и тому же одномерному конусу, то эти орбиты совпадают.
Утверждение второй части леммы тривиально. Лемма доказана.
Аналогично предыдущему устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством ^-мерных орбит и (га—k)-мерных конусов простого веера. Замыкания орбит являются подмногообразиями. В локальных картах — это координатные плоскости. Если одна орбита лежит в замыкании другой орбиты, то конус, отвечающий второй орбите, является гранью конуса, отвечающего первой орбите, подробнее см. в [168].
Д. Отображения многообразий, ассоциированных с простыми веерами. Пусть заданы два веера. Скажем,, что первый веер вписан во второй веер, если для любого конуса первого веера найдется содержащий его конус второго веера. §8]
АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА
177
Рассмотрим два простых веера. Предположим, что первый веер вписан во второй веер. Рассмотрим многообразия, ассоциированные с этими веерами. Определим аналитическое отображение первого многообразия во второе. Для этого определим ограничение отображения на каждую карту первого многообразия. Рассмотрим произвольную карту первого многообразия. Карта отвечает п-мерному конусу первого веера. По предположению найдется конус второго веера, содержащий этот конус первого веера. Конус второго веера, разумеется, тоже n-мерен. Поэтому конусу второго веера отвечает карта второго многообразия. Итак, мы имеем упорядоченную пару карт. Рассмотрим связанное с этими картами мономиальное отображение из первой карты во вторую (см. п. 8.1.В). Элементы матрицы этого мономиального отображения неотрицательны, поскольку первый конус вложен во второй. Таким образом, мы определили аналитическое отображение произвольной карты многообразия, ассоциированного с первым веером, в одну из карт многообразия, ассоциированного со вторым веером.
Лемма 3. Эти локальные отображения согласованы и корректно определяют аналитическое отображение первого многообразия во второе.
