Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь пп. 1,2 теоремы 5 непосредственно следуют из пункта 1 теоремы 3. Аналогично пп. 3, 4, 5, 6 теоремы 5 следуют соответственно из пп. 2, 4, 3, 2 теоремы 3.
Докажем п. 7. Имеем
СО OO
J eHf ф dx = 5 еш J (іі) dt + 5 е~м J (—-1) dt,
R" 0 0
где J—функция Гельфанда—Лере. Используя разрешение особенностей и теорему 2, получаем
J (± t) « at о (In t)r + . .. + at о + S ta (In Oft at a,
<x>0
где (r + 1) — кратность числа —1 относительно разрешения особенностей, ak, а—вещественные числа. Если амплитуда знакопостоянна и отлична от нуля в критической точке фазы, то согласно лемме 7 числа afto имеют один и тот же знак, их сумма отлична от нуля. Применяя формулы (11) на стр. 164, убеждаемся, что §7]
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ
169
в асимптотическом разложении осциллирующего интеграла вещественная часть коэффициента, стоящего при (lnx)''"1/^, пропорциональна а^ о + аг~ о, а коэффициент, стоящий при (In ту/т, пропорционален а^ о — аг, о, причем коэффициенты пропорциональности отличны от нуля. П. 7 доказан.
Замечание. Предположения пп. 3, 4, 6 теоремы 5 нужны для того, чтобы на старший член асимптотического ряда не влияли точки неособой части гиперповерхности нулевого уровня функции f.
В. Асимптотики интеграла Лапласа. Интегралом Лапласа называется интеграл вида
$ е-т/<*) Cp(X)GfX1. . .dxn,
Rn
где т — положительный вещественный параметр. Функции f, ф называются соответственно фазой и амплитудой.
Предположим, что фаза имеет точку минимума и является аналитической функцией в окрестности точки минимума. Предположим, что значение фазы в точке минимума равно нулю.
Теорема 6. Если носитель амплитуды сосредоточен в достаточно малой окрестности точки минимума, то при т —+ оо интеграл Лапласа разлагается в асимптотический ряд
S S а*, а (ф) T- (In T)*,
а. k-0
для которого справедливы заключения пп. 1, 2, 4 теоремы 5.
Доказательство теоремы 6 получается из доказательства теоремы 5 заменой ссылок на теорему 3 ссылками на теорему 4.
Следствие. Для каждого малого положительного t обозначим через V (t) объем множества тех точек, в которых значение фазы меньше t. Тогда при t —+0 функция V разлагается в асимптотический ряд
S V а (in t)K
<х ft= О
Здесь параметр а пробегает конечное множество арифметических прогрессий, составленных из отрицательных рациональных чисел. Этими арифметическими прогрессиями являются прогрессии п. 1 теоремы 5. О коэффициентах ряда и о порядке главного члена ряда справедливы утверждения заключения пп. 2, 4 теоремы 5.
Доказательство следствия. Производная функции V равна функции Гельфанда — Лере фазы f и единичной амплитуды.
7.4. Рациональность наибольших показателей особости ?j (я), определенных в п. 6.8. Рассмотрим многочлен степени N с неопределенными коэффициентами и с нулевыми свободными и линей- 170
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
ными членами
f(x, а)= .2 Oki.....IhlXk1*. . .X1Z1.
kt.....ka > о
1 < I ft, + .. .+fc„ I < N
При фиксированных вещественных коэффициентах а многочлен определяет функцию /(-, a):IRra—»- R, имеющую в начале координат критическую точку. Согласно теореме 5 существует арифметическая прогрессия, содержащая множество показателей этой критической точки.
Теорема 7. Существует единая арифметическая прогрессия, содержащая множество показателей критических точек в начале координат фаз f (•, а) при всех а.
Теорема 7 следует из леммы 8.
Лемма 8. Предположим, что в пространстве коэффициентов многочлена f выделено полу алгебраическое множество А. Тогда существуют его собственное алгебраическое подмножество BczA и арифметическая прогрессия Q, обладающие свойством: для любого а 6 А\В множество показателей критической точки в начале координат фазы /(•, а) принадлежит Q.
Доказательство. Можно считать, что А неособо и связно. Пусть /'—ограничение многочлена / на многообразие R" х А. Рассмотрим разрешение особенностей я: Y—»- IRraX А гиперповерхности нулевого уровня функции /'; см. [106]. Из теоремы Сарда— Бертини следует существование собственного алгебраического подмножества BczA, обладающего свойством: для любого а 6 6 А \ В ограничение отображения разрешения особенностей на прообраз множества IRnX а является разрешением особенностей гиперповерхности нулевого уровня функции /(¦, a):IRraха—»-1R, более того, топология этого разрешения и все кратности локально постоянно зависят от а. Теперь лемма следует из теоремы 5.
§ 8. Асимптотики и многогранники Ньютона
Мы рассматриваем класс критических точек фаз, ряд Тейлора которых имеет фиксированный многогранник Ньютона. Если многогранник Ньютона далекий, то почти все критические точки класса имеют единый показатель осцилляции. Этот единый показатель осцилляции равен удаленности многогранника Ньютона. Критическая точка класса имеет типичный показатель осцилляции, если lR-невырождена главная часть ее ряда Тейлора. (Напомним, что условия [R-невырожденности — явно выписываемые алгебраические условия на конечное множество коэффициентов Тейлора; см. п. 6.2.) Сформулированное утверждение составляет теорему 6.4. Ее доказательство — цель настоящего параграфа. Доказательство использует разрешение особенностей критических точек фаз. В предыдущем параграфе мы определили числовую характеристику раз- §8]
