Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
—dx/2y - — dxj2 \fx? + sx + t.
Интеграл такой формы называется эллиптическим.
Докажем два замечательных свойства формы Гельфанда — Лере.
Ориентируем многообразия уровня функции стандартным образом.
Лемма 2.1. Пусть «в — гладкая дифференциальная п-форма с компактным носителем. Предположим, что носитель формы не
пересекается с критическим множеством функции f. Тогда
+ °°
S®= $ ( \ v/df) dt. (2)
Rn \f = t /
2. Пусть г|) — гладкая дифференциальная (п—\)-форма с компактным носителем. Предположим, что носитель формы не пересекается с критическим множеством функции f. Тогда
ш( I (3)
\f=t J t=t
Доказательство. Свойство (2) — очевидное следствие теоремы Фубини. Свойство (3) — следствие теоремы Стокса (см. [14, 69]).
Следствие. Пусть f — аналитическая функция, не равная константе, © — гладкая дифференциальная п-форма с компактным носителем; тогда
+ OO
S ^fWffl= S еш( S <o/df) dt. (4)
Rn -QO V = / '
Действительно, мера объединения особых многообразий уровня равна нулю.
7.2. Асимптотики интегралов формы Гельфанда— JIepe.
Определение. Элементарным осциллирующим интегралом называется интеграл
J в^**»'I ху«... я«« I ф (Xi, ..., XjdXi.. .dxn, (5)
Rn
где kit .. ., km, mt, . .., т„—неотрицательные целые числа, <р — гладкая функция с компактным носителем, %—вещественный параметр.
Далее функцию ±х**.. .xkn* будем обозначать через f, а форму j JtfjV... jtf?» j ф (Jc1, . .., хп) dxxA - - • A dxn—через to. Будем предполагать, что kt -f- . .. -f-kn ^ 2. 160
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
Положим для не равных нулю t J (t) = ^ «в/df. J —гладкая
f=t
функция на (R\0, равная нулю вне достаточно большого интервала. Функцию J назовем функцией Гельфанда—JIepe формы «в.
Асимптотическое поведение при х -*- +оо элементарного интеграла будем изучать следующим образом. Сначала выясним асимптотику функции Гельфанда — JTepe, а затем, пользуясь формулой (4) и стандартными формулами для асимптотик однократных осциллирующих интегралов [96], получим асимптотическое разложение элементарного интеграла.
Мы воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 1 (см. [164]). Функция Гельфанда — JIepe разлагается в асимптотический ряд
л-1
<Ja(int)* при t+о, (6)
a k=0
^ (0 » S S О»: Ja (In Oft при t ——О, (7)
a k=0
где а пробегает некоторое ограниченное снизу дискретное подмножество вещественных чисел. Эти асимптотические разложения можно почленно дифференцировать.
Теорему 1 нетрудно доказать индукцией по п. Чтобы описать асимптотическое разложение функции Гельфанда—JIepe, мы рассмотрим интегралы F±= ^ (±ЛЛ®> гДе ^ —
±/>о
комплексный параметр. Мы докажем, что интегралы являются мероморфными функциями параметра. Мы выразим коэффициенты рядов (6) (7) и показатели а в этих рядах через полюсы и коэффициенты Лорана полученных мероморфных функций. Затем явно укажем эти полюсы и коэффициенты Лорана.
А. Асимптотики функции Гельфанда—Л ере и полюса еепреобразованияМеллина. Пусть J: (О, оо) —— гладкая функция, равная нулю для достаточно больших значений аргумента. Предположим, что имеет место асимптотическое разложение
і
J(t) S Ok. Ja (In Ofe при + 0, (8)
a ft = 0
где а пробегает некоторое ограниченное снизу дискретное подмножество вещественных чисел. Рассмотрим интеграл F(X) = 00
= ^ txJ (t) dt, где X—комплексный параметр. Интеграл корректно о
определен при достаточно больших значениях вещественной части параметра и при этих условиях голоморфно зависит от параметра. T-
I
; § 7]
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ
161
Теорема 2 (см. [41]). Функция F аналитически продолжается на всю комплексную прямую как мероморфная функция. Аналитическое продолжение имеет полюсы в точках X =—(а+1), где а пробегает то же дискретное множество, что и в (8). Коэффи-циентпри (а + 1 + X)-<ft+в разложении JIo рана в точке X=—(а+1) равен (—l)kk\ak, а-
Доказательство с очевидностью следует из формулы і
{ t^(\nt)kdt = (—l)kk\/(a + X + I)*+1. о
Б. Полюсы и коэффициенты Лорана преобразования Меллина функции Гельфанда—Лере. Пусть f = + Xk11. . . хк"—одночлен. Рассмотрим два интеграла
F±(X)= J X^lyiX1, ..., XjdX1...dxn,
±f> о
где X—комплексный параметр. По формуле (2) на стр. 159
CE О
F+ (X) = Jj txJ (t) dt, F_(X)= J (— t)%J (t) dt,
0 - CC
где J—функция Гельфанда—Лере. Согласно теоремам 1, 2 интегралы F±—мероморфные функции параметра. Явно укажем полюсы и коэффициенты Лорана этих функций.
Лемма 3.1. Функции F±. голоморфны вне точек комплексной прямой, принадлежащих следующим п арифметическим прогрессиям:
-(/TZ1 + 1)/^, -(/^ + 2)/(^, ...; — (mt + \)/kt, — (m2 + 2)/k2, ...; . . .— (mn+\)lkn, — (mn + 2)/kn,. . .
В точке, принадлежащей ровно г из этих прогрессий, функции F± имеют полюс не выше r-го порядка.
2. Все коэффициенты разложений Лорана функций Fi в произвольной точке комплексной прямой суть обобщенные функции амплитуды ф.
Доказательство. Достаточно доказать заключения для интеграла
о а
F (X) = J ... J хї>х+п".. .xkn"x+mn ф (X) dx,. . .dxn,
