Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Было бы интересно выяснить, можно ли указанное явление наблюдать физически в виде подмножества каустики, более темного по сравнению со своим окружением? Как уже отмечалось, такое явление не наблюдается на каустиках общего положения в маломерных пространствах (теорема 8 и ее следствие).
Замечание. Доказательство В. Н. Карпушкина равенства равномерного и индивидуального показателей осцилляции для критических точек функций двух переменных основано на теореме 5. Как уже отмечалось, равенство равномерного и индивидуального показателей осцилляции возможно только при условии полунепрерывности сверху индивидуального показателя осцилляции при деформациях критической точки. Согласно теореме 5 для функций двух переменных это свойство полунепрерывности можно переформулировать так: пусть задано произвольное семейство функций двух переменных, зависящих от параметра и имеющих критическую точку в начале координат, тогда удаленность этой критической точки полунепрерывно сверху зависит от параметра. Вероятно, это утверждение справедливо для функций любого числа150
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
переменных, Интересная задача в этой области — выразить равномерный показатель осцилляции через другие характеристики критической точки (многогранники Ньютона, разрешение особенностей и т. п.). Быть может, равномерный показатель осцилляции выражается через удаленности критических точек, стабильно эквивалентных данной. Другим вероятным кандидатом для выражения равномерного показателя осцилляции является комплексный показатель осцилляции, определенный в § 13. Комплексный показатель осцилляции определяется для критической точки голоморфной функции, он является комплексным аналогом показателя осцилляции. Б. Мальгранж в [185] сформулировал гипотезу о полунепрерывности комплексного показателя осцилляции при деформациях критической точки. Комплексный показатель осцилляции является одним из спектральных чисел критической точки голоморфной функции (спектр определен в § 13). В п. 14.3 сформулирована гипотеза В. И. Арнольда о полунепрерывности спектра при деформациях критической точки.
В этой главе изучаются асимптотики индивидуальных осциллирующих интегралов. В этом пункте мы обсудили их равномерные оценки. Есть еще один подход к оценкам интегралов — это оценки в среднем. Сформулируем соответствующий результат.
Рассмотрим осциллирующий интеграл, зависящий от дополнительных параметров,
I (т, у) = 5 e"F (*. f)<p (х, у) Clx1... dxn.
Rn
Обозначим через S множество критических точек фазы, т. е.
I 2 = {(лг, y)\dF/dxj(x, 1/) = 0, / = 1, ...,л}.
Теорема 9 (см. [148]). Предположим, что 2—подмногообразие, т. е. дифференциалы d(dF/dxj), /= 1, . . ., п, линейно независимы в каждой точке множества 2. Предположим, что носитель амплитуды сосредоточен в малой окрестности одной из точек множества 2. Тогда при г-*- +оо имеет место асимптотическое разложение
QO
$ |/(т, y)\Mdy** S
I = п
где числовые коэффициенты ai являются обобщенными функциями амплитуды с носителями на 2. В частности, старший коэффициент ап пропорционален интегралу квадрата модуля амплитуды по критическому множеству 2.
Это утверждение соответствует утверждению об унитарности канонического оператора Маслова (см: [75--77, 44]) и означает, НТО: хотя при индивидуальных, значениях дополнительных параметров : асимптотическое поведение интеграла имеет сложный характер,f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
151
интеграл от квадрата модуля осциллирующего интеграла ведет себя так же, как если бы фаза имела только невырожденные критические точки по переменным интегрирования.
Доказательство теоремы 9 основано на том, что интеграл от квадрата модуля есть осциллирующий интеграл. Его фаза F (х, у)— —F (г, у) имеет критические точки на множестве {(х, у, z)jx==z, (х, у) Є 2} (если х, z достаточно близки), критические точки невырождены в трансверсальном направлении к этому множеству.
6.7. Число целых точек в семействе гомотетичных областей. В пространстве Rn рассмотрим ограниченную область D с гладкой границей. Мы будем оценивать разность между объемом области, растянутой в Я раз, и числом N (X) точек с целыми координатами, находящихся в растянутой области, т. е. разность
R (X) = XnV (D)—N (X).
Изучение этого вопроса мотивируется следующими причинами (см. [139]):
1) Случай, в котором D есть эллипсоид, рассматривался в теории чисел в связи с исследованием арифметических свойств квадратичных форм (см. [60, 32]).
2) Если область D определена условием {/ 1}, где f: IR"\0—— гладкая однородная функция (скажем, однородный многочлен), то функция N (X) интерпретируется как спектральная функция псевдодифференциального оператора P на торе IRn/(2nZ)", заданного своим спектральным разложением
P (ехр (і л:») = / (k) ехр (і х».
3) Аналогичным образом исследуется проблема, возникающая при численном интегрировании: пусть f—гладкая функция и Nf(X)= 2 f(x/ty- Требуется оценить разность Rj (X) -=
XSkDnZ" = Xn^fdx-Nf(X).
D
Разность R (X) оценивают степенью параметра X: R (X) = O (Xfi).