Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
7.1. Форма Гельфанда—Jlepe. При исследовании интегралов вида І^'Мф (x)dx, ^ fx (х) ф (х) dx, где т, Я—параметры, удобно за одну из переменных взять функцию /. В этом случае интегралы превращаются в обычные преобразования Фуріье и Меллина интеграла по оставшимся переменным. Подынтегральное выражение в этом последнем интеграле называется формой Гельфанда — JIepe.
Пусть /: IRn—a-IR—гладкая функция, «в—гладкая дифференциальная re-форма на IRn. Будем искать такую гладкую дифференциальную (п—1)-форму \|з, для которой
df АЧ> = со. (1)
Лемма 1. Если в точке отличен от нуля дифференциал функции f, то в окрестности точки существует форма ^ со свойством (1). Ограничение этой формы на произвольное многообразие уровня функции определено однозначно.
Форма со свойством (1) называется формой Гельфанда — JIepe формы «в и обозначается через <x>/df.
Для доказательства леммы достаточно перейти к координатам, в которых функция — одна из координат.§7]
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ
159
Пример. Пусть f(x, у)= у2—X3-SX (где s — число) — функция, <o=dx/\dy — форма площади. Тогда на кривой уровня t форма Гельфанда — JIepe равна
—dx/2y = — dx/2 \fx?-\-sx + t.
Интеграл такой формы называется эллиптическим.
Докажем два замечательных свойства формы Гельфанда — Лере.
Ориентируем многообразия уровня функции стандартным образом.
Лемма 2. 1. Пусть «в — гладкая дифференциальная п-форма с компактным носителем. Предположим, что носитель формы не
пересекается с критическим множеством функции f. Тогда
+ °°
S®= Ul ^f) dt. (2)
Rn \j = t /
2. Пусть г|) — гладкая дифференциальная (п—\)-форма с компактным носителем. Предположим, что носитель формы не пересекается с критическим множеством функции f. Тогда
Щ f * <3>
\f=t J f=t
Доказательство. Свойство (2) — очевидное следствие теоремы Фубини. Свойство (3) — следствие теоремы Стокса (см. [14, 69]).
Следствие. Пусть f — аналитическая функция, не равная константе, «в — гладкая дифференциальная п-форма с компактным носителем; тогда
+ CD
J <;*/(*) о= J еш( J со/df\di. (4)
Rn -<ю Vf =< /
Действительно, мера объединения особых многообразий уровня равна нулю.
7.2. Асимптотики интегралов формы Гельфанда— JIepe.
Определение. Элементарным осциллирующим интегралом называется интеграл
S е±1Т4' - I Jfm1... я«« I ф (Xit Xjdxi...dxn, (5)
Rn
где kt, . . ., km, mt, . .., тп—неотрицательные целые числа, ср — гладкая функция с компактным носителем, т—вещественный параметр .
Далее функцию ±х**.. будем обозначать через f, а форму I х™'... х%п I ф (X1, ..., хп) dxx/\ ... Д dxn—через «в. Будем предполагать, что ... -\-kn ^ 2.158
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
ской точки аналитической фазы и выражаем через них показатель осцилляции и множество показателей критической точки.
В § 8 мы доказываем теорему 4. Для этого по многограннику Ньютона мы строим аналитическое многообразие и его отображение на IR". Построенные многообразие и его отображение разрешают особенности всякой критической точки с данным многогранником Ньютона при условии, что главная часть ее ряда Тейлора IR-не-вырождена. В § 9 доказывается аддитивность показателя осцилляции и его кратности, объясняются вычисления показателей табличных функций, приводятся примеры, демонстрирующие отсутствие полунепрерывности показателя осцилляции при деформациях критической точки.
§ 7. Элементарные интегралы и разрешение особенностей фазы
В этом параграфе изучаются асимптотики осциллирующего интеграла, фаза которого — одночлен. Указывается связь асимптотик осциллирующего интеграла с полюсами мероморфной функции
F (X)=l^f1, (х)ц> (x)dx, где / — фаза, <р — амплитуда осциллирующего интеграла. Вводятся дискретные характеристики разрешения особенностей критической точки фазы: вес разрешения, набор кратностей. Описывается связь этих характеристик и основных характеристик асимптотического поведения осциллирующего интеграла: показателя осцилляции, его кратности и множества показателей.
7.1. Форма Гельфанда—Лере. При исследовании интегралов вида ^eixFWy (х) dx, ^ fx (х) <p (х) dx, где т, А,—параметры, удобно за одну из переменных взять функцию /. В этом случае интегралы превращаются в обычные преобразования Фурье и Меллина интеграла по оставшимся переменным. Подынтегральное выражение в этом последнем интеграле называется формой Гельфанда — Лере.
Пусть /: IRn -> R—гладкая функция, «в—гладкая дифференциальная /г-форма на Rn. Будем искать такую гладкую дифференциальную (п—1)-форму я|з, для которой
df/\\|> = со. (1)
Лемма 1. Если в точке отличен от нуля дифференциал функции /, то в окрестности точки существует форма г[) со свойством (1). Ограничение этой формы на произвольное многообразие уровня функции определено однозначно.
Форма со свойством (1) называется формой Гельфанда — JIepe формы © и обозначается через w/df.
Для доказательства леммы достаточно перейти к координатам, в которых функция — одна из координат.§7]
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ
159
Пример. Пусть fix, у)=у2—X3-SX (где S — число) — функция, <o=dx/\dy— форма площади. Тогда на кривой уровня t форма Гельфанда — JIepe равна