Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 74

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 160 >> Следующая


7.1. Форма Гельфанда—Jlepe. При исследовании интегралов вида І^'Мф (x)dx, ^ fx (х) ф (х) dx, где т, Я—параметры, удобно за одну из переменных взять функцию /. В этом случае интегралы превращаются в обычные преобразования Фуріье и Меллина интеграла по оставшимся переменным. Подынтегральное выражение в этом последнем интеграле называется формой Гельфанда — JIepe.

Пусть /: IRn—a-IR—гладкая функция, «в—гладкая дифференциальная re-форма на IRn. Будем искать такую гладкую дифференциальную (п—1)-форму \|з, для которой

df АЧ> = со. (1)

Лемма 1. Если в точке отличен от нуля дифференциал функции f, то в окрестности точки существует форма ^ со свойством (1). Ограничение этой формы на произвольное многообразие уровня функции определено однозначно.

Форма со свойством (1) называется формой Гельфанда — JIepe формы «в и обозначается через <x>/df.

Для доказательства леммы достаточно перейти к координатам, в которых функция — одна из координат. §7]

РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ

159

Пример. Пусть f(x, у)= у2—X3-SX (где s — число) — функция, <o=dx/\dy — форма площади. Тогда на кривой уровня t форма Гельфанда — JIepe равна

—dx/2y = — dx/2 \fx?-\-sx + t.

Интеграл такой формы называется эллиптическим.

Докажем два замечательных свойства формы Гельфанда — Лере.

Ориентируем многообразия уровня функции стандартным образом.

Лемма 2. 1. Пусть «в — гладкая дифференциальная п-форма с компактным носителем. Предположим, что носитель формы не

пересекается с критическим множеством функции f. Тогда

+ °°

S®= Ul ^f) dt. (2)

Rn \j = t /

2. Пусть г|) — гладкая дифференциальная (п—\)-форма с компактным носителем. Предположим, что носитель формы не пересекается с критическим множеством функции f. Тогда

Щ f * <3>

\f=t J f=t

Доказательство. Свойство (2) — очевидное следствие теоремы Фубини. Свойство (3) — следствие теоремы Стокса (см. [14, 69]).

Следствие. Пусть f — аналитическая функция, не равная константе, «в — гладкая дифференциальная п-форма с компактным носителем; тогда

+ CD

J <;*/(*) о= J еш( J со/df\di. (4)

Rn -<ю Vf =< /

Действительно, мера объединения особых многообразий уровня равна нулю.

7.2. Асимптотики интегралов формы Гельфанда— JIepe.

Определение. Элементарным осциллирующим интегралом называется интеграл

S е±1Т4' - I Jfm1... я«« I ф (Xit Xjdxi...dxn, (5)

Rn

где kt, . . ., km, mt, . .., тп—неотрицательные целые числа, ср — гладкая функция с компактным носителем, т—вещественный параметр .

Далее функцию ±х**.. будем обозначать через f, а форму I х™'... х%п I ф (X1, ..., хп) dxx/\ ... Д dxn—через «в. Будем предполагать, что ... -\-kn ^ 2. 158

ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. II

ской точки аналитической фазы и выражаем через них показатель осцилляции и множество показателей критической точки.

В § 8 мы доказываем теорему 4. Для этого по многограннику Ньютона мы строим аналитическое многообразие и его отображение на IR". Построенные многообразие и его отображение разрешают особенности всякой критической точки с данным многогранником Ньютона при условии, что главная часть ее ряда Тейлора IR-не-вырождена. В § 9 доказывается аддитивность показателя осцилляции и его кратности, объясняются вычисления показателей табличных функций, приводятся примеры, демонстрирующие отсутствие полунепрерывности показателя осцилляции при деформациях критической точки.

§ 7. Элементарные интегралы и разрешение особенностей фазы

В этом параграфе изучаются асимптотики осциллирующего интеграла, фаза которого — одночлен. Указывается связь асимптотик осциллирующего интеграла с полюсами мероморфной функции

F (X)=l^f1, (х)ц> (x)dx, где / — фаза, <р — амплитуда осциллирующего интеграла. Вводятся дискретные характеристики разрешения особенностей критической точки фазы: вес разрешения, набор кратностей. Описывается связь этих характеристик и основных характеристик асимптотического поведения осциллирующего интеграла: показателя осцилляции, его кратности и множества показателей.

7.1. Форма Гельфанда—Лере. При исследовании интегралов вида ^eixFWy (х) dx, ^ fx (х) <p (х) dx, где т, А,—параметры, удобно за одну из переменных взять функцию /. В этом случае интегралы превращаются в обычные преобразования Фурье и Меллина интеграла по оставшимся переменным. Подынтегральное выражение в этом последнем интеграле называется формой Гельфанда — Лере.

Пусть /: IRn -> R—гладкая функция, «в—гладкая дифференциальная /г-форма на Rn. Будем искать такую гладкую дифференциальную (п—1)-форму я|з, для которой

df/\\|> = со. (1)

Лемма 1. Если в точке отличен от нуля дифференциал функции /, то в окрестности точки существует форма г[) со свойством (1). Ограничение этой формы на произвольное многообразие уровня функции определено однозначно.

Форма со свойством (1) называется формой Гельфанда — JIepe формы © и обозначается через w/df.

Для доказательства леммы достаточно перейти к координатам, в которых функция — одна из координат. §7]

РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ

159

Пример. Пусть fix, у)=у2—X3-SX (где S — число) — функция, <o=dx/\dy— форма площади. Тогда на кривой уровня t форма Гельфанда — JIepe равна
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed