Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г, Множество точек с малым градиентом. Еще одной характеристикой критической точки, подобной рассмотренным выше, является скорость стремления к нулю объема множества тех точек, в которых длина градиента меньше, чем заданное число, при стремлении этого заданного числа к нулю.
Предположим, что в пространстве задана риманова метрика. Эта метрика (с помощью матрицы, обратной к матрице метрики) определяет метрику на кокасательном расслоении к пространству. Bi. этой метрике вычислим квадрат длины градиента df— (dffdxu ... . Г., df/dxn) рассматриваемой функции f. В окрестности выделенной критической точки функции для каждого малого положительного і рассмотрим объем V (t) множества тех точек окрестности, в которых квадрат длины градиента меньше t. Будем интересоваться асимптотикой объема при t —+0. Поскольку все метрики в окрестности точки взаимно ограничены, порядок главного члена асимптотики не зависит от выбора метрики. * "
Пример. Для критических точек типов Afti D4, D11 (p,>-.4), Ev E1 і "Eg. главный член асимптотики функции- V -при /•—>- -f- 0 имеет 148
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
вид const t-a+n>2 (In t)k, где (k, а) соответственно равны ((fi—1)/2р, 0), (1/2,0), (1/2, 1), (7/12, 0), (5/8, 0), (5/8, 0).
Для вычисления асимптотики объема множества точек с малым градиентом можно пользоваться теоремой 7, примененной к функции (df, df), а также теоремами 4, 5.
6.6. Равномерные оценки. Наряду с асимптотиками индивидуальных осциллирующих интегралов часто бывает полезно знать равномерные оценки осциллирующих интегралов, зависящих er дополнительных параметров.
Определим понятия равномерной оценки и равномерного показателя осцилляции.
Пусть f: IRn—a-IR—гладкая функция. Назовем ее деформацией всякую гладкую функцию F: IRnXlRi-^IR, равную функции f при нулевом значении второго аргумента.
Определение. В критической точке X0 фазы f имеет место равномерная оценка с показателем а, если для любой деформации F фазы f найдется окрестность в IRnXlR' точки х°х0 такая, что для любой гладкой функции ф с носителем в этой окрестности и для любого положительного s существует число С (г, ф), для которого при всех положительных T
$ eixF (*• V) ф (х, у) dx1... dxn I < С (є, ф) Та+ е.
R" I
і
Нижняя грань таких чисел а называется равномерным показателем осцилляции фазы в критической точке.
Очевидно, что равномерный показатель осцилляции не меньше индивидуального.
Возникает естественное предположение, сформулированное В. И. Арнольдом в [4, 5, 122], что равномерный показатель осцилляции равен индивидуальному показателю, т. е. что осциллирующий интеграл допускает равномерную по дополнительным параметрам оценку сверху величиной, пропорциональной значению интеграла при исходном значении дополнительных параметров.
Для справедливости этого предположения необходимо, чтобы индивидуальный показатель осцилляции был полунепрерывен сверху при непрерывных изменениях критической точки. А именно, необходимо, чтобы показатель осцилляции сложной критической точки был не меньше показателя осцилляции более простой критической точки, полученной при распадении сложной. Анализ таблиц показателей особостей и известных примыканий Друг к другу критических точек, классифицированных в главе 2 ОДО-1, показывает, что такая полунепрерывность имеет место для критических точек, классифицированных в главе 2 ОДО-1.
Теорема 8. Равномерный показатель осцилляции равен индивидуальному для критических точек функций одной переменной (И. М. Виноградов [311), для простых критических точек (Дж. Дю- f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
149
истермаат [148]), для параболических (И. Колен де Вердье [139]), для гиперболических критических точек серии Tp „ г (В. Н. Kap-пушкин [63]), для критических точек функций двух переменных (В. Н. Карпушкин [61]).
Следствие. Для критических точек, встречающихся неустранимо в семействах фаз общего положения, зависящих от не более чем семи параметров, равномерный показатель осцилляции равен индивидуальному.
Согласно теореме 8 при движении по каустике, отвечающей одной из критических точек, перечисленных в теореме, интенсивность коротковолнового колебания в предельной точке не меньше, чем интенсивность колебания в близкой допредельной точке. Удивительно, но это явление не имеет места для всех каустик. А именно, имеются примеры вырожденных критических точек фаз, для которых равномерный показатель осцилляции больше индивидуального (см. [18]).
Эти примеры изложены в § 9. Критические точки из построенных примеров очень вырождены, коразмерность таких критических точек порядка 80 и более (т. е. эти критические точки устранимы малым шевелением из семейств функций с меньшим числом параметров).
Согласно построенным примерам существуют критическая точка и ее деформация, обладающие следующим свойством. Показатель осцилляции критической точки при выделенном значении параметра деформации меньше, чем показатель осцилляции критической точки при общем значении параметра деформации, т. е. модуль осциллирующего интеграла при выделенном значении параметра деформации существенно меньше, чем модуль интеграла при общем значении параметра.
