Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 71

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 160 >> Следующая


Тривиальная оценка для любой области получается, если взять ? = rc—1. Действительно, разность R (X) меньше, чем объем окрестности ширины 2 ]/~п границы растянутой области.

Для шара радиуса 1 с центром в начале координат ? ^ д—2. Точнее, найдется сколь угодно большое X, для которого на сфере XdD лежит ~ Хп~2 точек с целыми координатами. Действительно, рассмотрим целые точки, лежащие между сферами (Я +1) 9D и XdD. Их число пропорционально объему, т. е. пропорционально (Я+1)п— — Xn — Хп~х¦ Между этими сферами проходит приблизительно X сфер с центром в начале координат, у которых квадрат радиуса — целое число. Поэтому Я"-1 целых точек лежит на Я сферах, и значит, найдется сфера, на которой лежит не меньше чем ~ Яп~2 точек. 152

!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. II

Наилучшее (наименьшее) число ? зависит от вида области. Наиболее исследован случай области на плоскости.

Теорема 10 (см. [204, 206, 139]). Предположим, что ге=2. Обозначим через I максимальный порядок обращения в нуль кривизны границы области. Тогда, если 1=0 или 1 (это ситуация общего положения), то в качестве ? можно взять 2/3. Если t^z 1, то в качестве ? можно взять 1—1/(/+2). Более того, если t^-2, то, вообще говоря, ? нельзя взять меньшим (например, для D = {X2ft+

+г/а*<1})-

В многомерной ситуации исследован только случай строго выпуклой области и при п^77 случай области с границей, находящейся в общем положении.

Теорема 11 (см. [204, 205]). Если область DcR" выпукла и невырождена вторая квадратичная форма ее границы, то в качестве ? можно взять п—2+2/(п+1).

Теорема 12 (см. [139]). Предположим, что п^.7. Пусть X — компактное ориентированное гладкое многообразие размерности п—1. Тогда существует открытое, всюду плотное подмножество в пространстве всех вложений многообразия X в Rn, обладающее свойством: если вложение принадлежит подмножеству и образ вложения ограничивает область в IR", то для этой области в качестве числа ? можно взять п—2+2/(га+1).

Как показывает пример шара с центром в начале координат, оценку с р=п—2+2/(га+1), вообще говоря, нельзя существенно улучшить.

А. Формула суммирования Пуассона. Объясним, каким образом оценка числа целых точек связана с осциллирующими интегралами:

Число точек целочисленной решетки в растянутой области XD

равно числу точек уплотненной решетки -J-Zn в исходной области.

Будем для простоты предполагать, что X—натуральное число и что область D лежит в стандартном /г-мерном кубе с ребрами длины 1. В этом случае мы можем рассматривать область как область тора Tn = R"/Z" и подсчитывать на торе точки проекции

решетки I-Z", попавшие в D. Обозначим через у характеристи-

Л

ческую функцию области D, т. е. функцию, равную 1 на D и равную 0 на D. Тогда

R(X)=Xn ^xdx-0<xi Jxn^il(XfX). Разложим характеристическую функцию в ряд Фурье:

% (х) — 2 X (&) exp (2ni <k, х», keZ" f 6]

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

153

и рассмотрим аналогичную разность для каждого члена ряда: X" $ ехр (2ni <k, X» dx— ехр (2пі ф, x>/X).

X

Для k=0 эта разность равна нулю. Если кФО, то равен нулю первый член этой разности, и остается вычислить второй член. Второй член является произведением сумм п геометрических прогрессий. Суммируя их, получаем, что второй член разности равен нулю, если хотя бы одна из координат вектора k не делится на X. Если же все координаты вектора k делятся на X, то сумма равна —Xn. Это соображение показывает, что

R(X) = -X« 2 —X" S (3)

Эта формула называется формулой суммирования Пуассона, К сожалению, для характеристической функции она не верна: при выводе формулы мы переставили порядки суммирования по fe и суммирования по точкам уплотненной решетки. Для справедливости формулы Пуассона достаточно, чтобы ряд Фурье мажорировался абсолютно сходящимся рядом с постоянными коэффициентами,- В частности, формула Пуассона справедлива для всякой гладкой финитной функции % на IR".

Для исследования разности R (Я,) сначала сглаживают характеристическую функцию, затем применяют формулу Пуассона и исследуют ее правую часть (см., например, [139]). Для сглаживания характеристическую функцию свертывают с эталонной функцией. Преобразование Фурье свертки равно произведению преобразований Фурье характеристической функции и эталонной. Поэтому при изучении правой части формулы Пуассона, примененной к сглаженной характеристикой функции, важно знать, как ведут себя коэффициенты Фурье X(Xk) характеристической функции при X-*- со. Коэффициенты Фурье — это осциллирующие интегралы.

Б. Преобразование Фурье характеристической функции. Коэффициент Фурье

% (k) = J ехр (—2ni ф, х>) dx

D

является осциллирующим интегралом, в котором роль большого параметра играет длина вектора k, а роль фазы играет функция — <а (k), х>, где а (k) = kj\ k ||—соответствующий вектор единичной длины. Этот интеграл по формуле Стокса преобразуется в осциллирующий интеграл по границе области. Фазой нового интеграла по-прежнему служит функция —<а (k), х~>. Следовательно, величина коэффициента Фурье % (&) ПРИ больших длинах вектора k определяется критическими точками ограничения на границу линейной функции <cc(k),x>. Например, если область выпукла и 154
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed