Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
вторая квадратичная форма границы невырождена, то все критические точки ограничения невырождены и X (&) ~ ||&||-(я+1)/2 (теорема 2).
Разберем подробнее случай области на плоскости. Критические точки ограничения функции <а(&), х> на кривую dD—это те точки, в которых вектор нормали к кривой равен ±а(&). Если в такой точке кривизна кривой отлична от нуля, то критическая точка невырождена и ее вклад в коэффициент Фурье имеет порядок |j&||-3/a. Если в точке границы с нормалью ± а (k) кратность нуля кривизны равна /, то критическая точка имеет тип Ai+1 и в этом случае ее вклад в коэффициент Фурье имеет порядок ||?||-1-1/('+2)_ Нормаль в точке границы, в которой обращается в нуль кривизна, может иметь иррациональный тангенс наклона. Такая точка границы не будет критической ни для одной функции <а (k), х>. Вклад такой точки в сумму (3) определяется тем, с какой скоростью тангенс наклона ее нормали приближается рациональными числами. Если тангенс наклона хорошо приближается рациональными числами со сравнительно небольшими числителем и знаменателем, то критические точки ограничения линейной функции <а (k), х> с вектором k сравнительно небольшой длины будут почти вырожденными и .будут давать большой вклад в сумму (3). В общем положении кривая на плоскости имеет в качестве вырождений только точки перегиба, т. е. у кривой общего положения кратности нулей функции кривизны не больше 1. Поэтому для кривой общего положения критические точки ограничения на границу линейной функции либо невырождены, либо имеют тип A1. Следовательно, в общем положении можно ожидать, что R (А,)—X2/3. Эти рассуждения объясняют теорему 10.
В.Оценка, усредненн а я по поворотам. Основной вклад в коэффициенты Фурье характеристической функции области дают окрестности тех точек границы, в которых нормаль имеет рациональное направление и кривизна обращается в нуль. Ранделу принадлежит идея о том, что после поворота области таких точек, вообще говоря, не будет и средняя по поворотам оценка может быть лучше индивидуальной оценки.
Теорема 13 (см. [206, 207, 24, 25]). Обозначим через ds меру Xaapa на специальной ортогональной группе SOn. Обозначим через R (к, s) разность, соответствующую области, растянутой в Я, раз и затем повернутой преобразованием s g SOn. Тогда
J |/?(А,, s) IJds = O (Я"-2+2/(я+і>).
SOn
Теорема 14 (см. [206,207, 24, 25]). Обозначим через G группу всех движений вида si, где s^ SOn, t—параллельный перенос пространства R". Пусть IczG—подгруппа всех параллельных переносов на векторы с целыми координатами. Обозначим через H фак-f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
155
торпространство G/I. H топологически SOnX Tn, где Tn= IR7VZn — n-мерный тор. Обозначим через dh меру Xaapa на Н. Тогда
IR (X, К) |а dh)1/* = О (Я<"-1)/2).
Аналог теоремы 13 для многогранников в IRn доказан Тарно-польска-Вейсс.
Теорема 15 (см. [223]). Пусть D—многогранник в IRn1 содержащий начало координат и обладающий свойством: продолжения его граней не проходят через начало координат. Тогда
Jl R(K, s) | ^fs = O ((In Я)2+б).
SOn
Доказательства теорем 13, 14 основаны на оценке квадрата модуля коэффициента Фурье характеристической функции области.
Теорема 16 (см. [24,25]). При ||k|| —^oo справедлива оценка
S Ix(^1S) \*ds ==0 (jk|-<««>). (4)
SOn
Если граница области зависит бесконечно дифференцируемым образом от дополнительных параметров, то эта оценка равномерна по дополнительным параметрам при условии, что параметры мало отличаются от исходных значений.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 9.
Выведем теорему 14 из теоремы 16. Каждый элемент h?H однозначно представляется в виде st, где s ? SOn, t ? Т". Зафиксируем s. Тогда R (X, h)—функция на Tn. Разложим ее в ряд Фурье:
R (X, St) = 2 а (X, s, k) егя'<*- *>. k
Простое прямое вычисление показывает, что а(Х, s, 0) = 0, а (к, s, &) = (— l)n+1x(— Xk, s) Xn. Используя равенство Парсеваля, получаем
S M \R (X, st)\*dt\ds= S S s) Iа rfs.
SOnN4Tn J SOnJie гп\О
Теперь теорема 14 следует из (4).
Замечание. Для области, граница которой имеет невырожденную вторую квадратичную форму, справедлива оценка % ~ ||?||_(n+1)/2 (см- пункт Б). Поэтому для такой области
f J IR (X, t) I2 di\1/2 = О (W— 1V2).
\Т» J156
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
Д. Доказательство теоремы 12 основано на двух интересных утверждениях о равномерных оценках осциллирующих интегралов, зависящих от дополнительных параметров. В этих утверждениях предполагается, что все критические точки фазы простые или параболические.
Теорема 17 (см. [139]). Рассмотрим осциллирующий интеграл
1 У) = $ eHF(x•у) Ф (х, У) dx.
R"
Предположим, что при каждом значении дополнительных параметров все критические точки фазы этого интеграла являются простыми или параболическими. Тогда имеет место неравенство
I / (х, у) Kconst-T-"/2 2 і det Fxx (X, у) I"1/2,
(X, у) ? Sfi supp ф
где через 2 обозначено множество всех критических точек фазы по переменным интегрирования, через Fxx обозначена матрица вторых производных фазы по переменным интегрирования.