Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Обобщенная функция ah< а тождественно равна нулю, если k не меньше кратности числа а относительно разрешения особенностей.
3. Если вес разрешения особенностей критической точки фазы больше —1, то
а) показатель осцилляции критической точки фазы равен весу разрешения особенностей;
б) кратность показателя осцилляции критической точки фазы равна уменьшенной на 1 кратности числа, равного весу разрешения особенностей, относительно разрешения особенностей-,
в) если амплитуда неотрицательна и ее значение в критической точке фазы положительно, то отличен от нуля числовой коэффициент старшего члена асимптотического ряда осциллирующего интеграла (т.е. коэффициент aKt где ?— показатель осцилляции, К — кратность показателя осцилляции);
г) если критическая точка фазы конечнократна, то числовой коэффициент старшего члена асимптотического ряда осциллирующего интеграла равен значению амплитуды в критической точке фазы, умноженному на отличную от нуля константу, зависящую только от фазы.
2 X Qft, а (ф)та(1ПТ)А При Т—*+00.
a a=o §7]
РАЗРЕШЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФАЗЫ
167
4. Если критическая точка фазы является точкой максимума или минимума, то справедливы заключения а) — г) п. 3 теоремы.
5. Обозначим через л отображение разрешения особенностей. Предположим, что не найдется точки из прообраза критической точки фазы, в которой пересекаются хотя бы две неприводимые компоненты гиперповерхности нулевого уровня функции /оя, кратности которых равны (1, 0). (Отметим, что это предположение выполняется, если фаза имеет конечнократную критическую точку (если п=2, нужно дополнительно исключить случай невырожденной критической точки).) Тогда параметр а в асимптотическом ряде осциллирующего интеграла пробегает только арифметические прогрессии пункта 1 теоремы, параметризованные элементами набора кратностей разрешения особенностей. В частности, показатель осцилляции критической точки фазы не больше веса разрешения особенностей.
6. Пусть ? — вес резрешения особенностей, k — кратность числа ? относительно разрешения особенностей. Рассмотрим множество всех точек прообраза (относительно отображения разрешения особенностей), в которых кратность числа ? равна k. Предположим, что это множество не пересекается ни с одной неприводимой компонентой гиперповерхности нулевого уровня функции fon, кратность которой равна (1, 0). Предположим, что выполняются условия пункта 5. Предположим, что вес разрешения особенностей не является нечетным целым числом. Тогда справедливы заключения а) — г) пункта 3 теоремы.
7. Предположим, что вес разрешения особенностей равен —1 и кратность числа —1 относительно разрешения особенностей не меньше 2. Тогда показатель осцилляции критической точки фазы равен •—1. Более того, кратность показателя осцилляции равна кратности числа —1 относительно разрешения особенностей или на 1 меньше кратности числа —1.
Замечания. 1. Эта теорема влечет теорему 6.3 об асимптотическом разложении.
2. Разрешение особенностей критической точки определено неоднозначно. Однако, если для одного разрешения вес больше —1, то для всякого другого разрешения вес тоже больше —1 и не зависит от разрешения (п. 3 теоремы 5). Интересно было бы найти чисто алгебраическое доказательство этого факта.
3. Практически всегда критическая точка имеет разрешение особенностей веса больше —1. Достаточные условия для этого см. в теореме 8.5, а также в дополнении г) теоремы 6.4.
4. В п. 9.2 (см. также [18]) приведен пример критической точки и ее разрешения особенностей, обладающих свойствами: вес разрешения меньше —1, показатель осцилляции меньше веса разрешения.
5. Вернемся к задаче о восстановлении значения функции <р в критической точке функции / по интегралам функции ф вдоль 168
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
гиперповерхностей уровня функции f, см. п. 6.3. Для конечно-кратной критической точки функции f, удовлетворяющей условиям одного из п. 3, 4, 6 теоремы 5, эта задача может быть решена следующим образом. В качестве плотности на гиперповерхностях уровня функции /.возьмем дифференциальную (п—1)-форму Гельфанда—Лере (Ix1A . . . /\dxjdf. Таким образом, зная
функцию Гельфанда—Лере J (t)= j <p dxx Д .. . д dxjdf, нужно
f=t
восстановить значение функции <р в критической точке. Согласно формуле (4) на стр. 159 осциллирующий интеграл—это преобразование Фурье функции Гельфанда—Лере. Поэтому утверждение 3, г) теоремы 5 дает решение задачи.
Пример. Пусть / — однородный многочлен степени N, имеющий в начале координат конечнократную критическую точку. Разрешение особенностей этой критической точки указано в примере на стр. 165. Набор кратностей разрешения состоит из пары (N, п—1). Согласно теореме 5 в асимптотическом разложении осциллирующего интеграла с фазой f параметр а пробегает арифметическую прогрессию —n/N, —{n+\)/N, ... Если N>n (или / знако-определен), то показатель осцилляции критической точки равен —n/N, кратность показателя осцилляции равна 0.
Доказательство теоремы. Сделаем в осциллирующем интеграле замену переменных с помощью отображения я: Y-R" разрешения особенностей. Тогда интеграл преобразуется в интеграл по Y. Воспользовавшись достаточно мелким разбиением единицы, преобразуем последний интеграл в сумму элементарных интегралов (это возможно, поскольку я — разрешение особенностей) .
