Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Веер называется простым, если
в) все конусы веера симплициальны, и скелет любого конуса можно дополнить до базиса целочисленной решетки всего поостсанства. §8]
АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА
173
Б. Мономиальные отображения. Рациональное ото-
1 л
бражение h: IRn—»IRn вида XiOh = X11. . .хп?, ? = 1, ..., п, где a'i—целочисленная матрица с определителем равным ±1, называется мономиальным. Область определения мономиального отображения всегда содержит дополнение объединения координатных гиперплоскостей.
Очевидно, что отображение, обратное к мономиальному, моно-миально й задается обратной матрицей. Область определения мономиального отображения совпадает со всем пространством тогда и только тогда, когда матрица мономиального отображения имеет неотрицательные элементы.
Пусть задана упорядоченная пара базисов целочисленной решетки пространства R/'. Мономиальное отображение называется ассоциированным с этой парой, если оно задается матрицей сопряженного оператора к оператору, переводящему второй базис в первый и записанному во втором базисе. Таким образом, в столбцах стоят координаты векторов первого базиса, выраженных через второй базис.
Пример. Пусть в целочисленной решетке пространства IR2 заданы два базиса: первый — (1,0), (1,1), второй — (1,0), (0,1). Тогда мономиальное отображение h, ассоциированное с этой парой, задается формулой
X1Oh = х\х\, X2Oh = X1Xl.
Лемма 1. Если изменить порядок в паре, то ассоциированное с парой мономиальное отображение изменится на обратное. Если заданы три базиса, то отображение, ассоциированное с первым и
. (.0,1)
п- 2
(-1,-1)
б)
Рис. 67.
третьим базисом, равно суперпозиции отображения, ассоциированного с первым и вторым базисами, и отображения, ассоциированного со вторым и третьим базисами. А именно, h13=h2,z°hli2.
Доказательство очевидно.
В. Многообразие, ассоциированное с простым веером. Пусть задан простой веер. По вееру мы построим неособое я-мерное вещественное аналитическое многообразие. Конструкция многообразия обобщает построение стандартных компак- 174
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
тификаций пространства (R\0)". А именно, для вееров, указанных на рис. 67, а, б, конструкция приводит соответственно к многообразиям (IRP1)", IRP".
Карты многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с n-мерными конусами веера. Каждая карта — это R". Мы введем отношение эквивалентности для точек разных карт. Затем на множестве классов эквивалентности введем топологию и структуру многообразия.
Нам удобно для каждого конуса веера упорядочить векторы его скелета. Зафиксируем эти порядки. Впоследствии будет легко убедиться, что многообразие, которое мы построим, не зависит от этих порядков.
С любой упорядоченной парой карт связано мономиальное отображение из первой карты во вторую — это мономиальное отображение, ассоциированное с упорядоченной парой базисов целочисленной решетки пространства, где первый (соответственно второй) базис — это базис, порожденный скелетом того «-мерного конуса, который отвечает первой (соответственно второй) карте. Для будущего многообразия это мономиальное отображение будет играть роль функции перехода из первой карты во вторую.
Скажем, что точка первой карты эквивалентна точке второй карты, если мономиальное отображение, связанное с этими картами, определено в точке первой карты и переводит эту точку в упомянутую точку второй карты.
Пример. Пусть в пространстве IR2 скелет первого конуса составляют векторы (1,1), (1,2), а скелет второго конуса составляют векторы (1,1), (3,2). Тогда миномиальное отображение h из первой карты во вторую задано формулами X1Oh = х\х\, x2oh = X1X21- Поэтому, например, точка (0,2) первой карты эквивалентна точке (0, 1/2) второй карты.
Введенное отношение на парах точек будет отношением эквивалентности, если мы проверим его симметричность. Симметричность следует из леммы 2.
Лемма 2. Мономиальное отображение, связанное с упорядоченной парой карт, обладает следующим свойством. Если задана последовательность точек первой карты, для которой выполнены условия:
а) последовательность имеет конечный предел в первой карте;
б) мономиальное отображение определено в точках последовательности;
в) последовательность образов точек последовательности имеет конечный предел во второй карте,
то мономиальное отображение определено и невырождено в предельной точке последовательности.
Доказательство леммы основано на том, что пересечение конусов, отвечающих двум картам, является гранью каждого из них. Достаточно разобр'ать случ'ай, КЪГда последователь- §8] АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА 175
ность точек лежит на гладкой кривой и предельная точка последовательности отвечает нулевому значению параметра кривой. Существование такой кривой следует из леммы об отборе кривых, см. [79]. Итак, пусть кривая имеет вид Xj (t) = tkJ (су- + 0 (?)), /= = 1, ..., п, где числа C1, ...,Cn не равны нулю. Тогда ее образ имеет вид Xj it) = Г/(dj + О (t)), j = 1, . .., п, где my== ^lajkl и аI—матрица мономиального отображения. По условию показатели к j, rrij неотрицательны. Согласно формулам вектор (т1У ..., тп) есть линейная комбинация столбцов матрицы а) с коэффициентами U1, ..., кп. По определению в столбцах стоят координаты векторов скелета конуса, отвечающего первой карте, выраженных через векторы скелета конуса, отвечающего второй карте. Неотрицательность чисел т.; означает, что указанная линейная комбинация векторов первого скелета принадлежит второму конусу. Однако пересечение конусов является гранью каждого из них. Поэтому, если в линейной комбинации коэффициент kj отличен от нуля, то в /-м столбце матрицы мономиального отображения все элементы, кроме одного, равны 0, а оставшийся коэффициент равен 1. Положительность коэффициента Iij означает, что предельная точка кривой при t—>-0 лежит на гиперплоскости Xj==O. Согласно доказанному выше мономиальное отображение определено и невырождено в общей точке этой гиперплоскости. Лемма доказана.
