Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА
171
решения особенностей — вес и доказали: если вес больше —1, то показатель осцилляции критической точки равен весу (теорема 7.5).. В этом параграфе мы построим многообразие и его отображение на IR", которые разрешают особенности почти всех критических точек рассматриваемого класса. Мы докажем, что вес построенного разрешения особенностей равен удаленности многогранника Ньютона. Таким образом мы докажем теорему 6.4.
Разрешение особенностей строится по многограннику Ньютона и состоит из трех этапов. На первом этапе по многограннику Ньютона строится разбиение положительного октанта пространства на выпуклые конусы, каждый из которых задается конечным множеством линейных условий с рациональными коэффициентами. На втором этапе конусы измельчают, чтобы построить новое разбиение положительного октанта. Новое разбиение вписано в предыдущее, все его конусы симплициальны и кратность их равна 1 (определения см. в п. 8.1.А). На третьем этапе по новому разбиению строят многообразие и его отображение на IR". Многообразие и отображение разрешают особенности почти всех критических точек рассматриваемого класса.
Каждый этап использует лишь результат предыдущего этапа: на втором этапе не используется многогранник Ньютона, на третьем этапе не используется первое разбиение. На первом и третьем этапе начальные данные однозначно определяют результат. Результат второго этапа (новое разбиение) не определяется однозначно первоначальным разбиением. Таким образом разрешение особенностей не определяется однозначно многогранником Ньютона, хотя строится по многограннику Ньютона.
Мы изложим сначала третий этап. Мы построим многообразие по набору конусов с упомянутыми выше свойствами и определим его естественную проекцию на IR" (см. п. 8.1.Е). Затем мы изложим первые два этапа и докажем, что построенные в результате трех этапов многообразие и отображение разрешают особенности критических точек класса с IR-невырожденными главными частями рядов Тейлора. В заключение мы выведем теорему 6.4 из теоремы 7.5.
На многообразии, которое будет построено в этом параграфе, естественным образом действует группа — n-мерный тор (подробнее см. в п. 8.1.Г). Многообразия с действием тора называются торическими. Далеко продвинутую теорию торических многообразий см. в [168, 240]. Орбиты действия тора на торическом многообразии находятся во взаимно однозначном соответствии с некоторой совокупностью выпуклых конусов, строящихся по многообразию. В свою очередь эта совокупность конусов однозначно определяет торическое многообразие. Наш третий этап построения разрешения особенностей является этим стандартным (в теории торических многообразий) переходом от совокупности конусов к многообразию. Торические многообразия замечательны тем, что большинство аналитических и топологических конструкций на них сво- 172
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
дится к линейно алгебраическим конструкциям на соответствующей совокупности конусов. Например, см. в этом параграфе наше вычисление веса разрешения особенностей.
К исследованию особенностей многогранники Ньютона впервые были применены в [66, 171]. С многогранниками Ньютона ториче-ские многообразия впервые были связаны А. Г. Хованским (см. [11, 107, 108], а также [18, 231]).
8.1. Построение многообразия.
А. Конус, скелет, кратность, веер. Конусом, порожденным векторами alt . . ., as g IR", называется конус, состоящий из линейных комбинаций этих векторов с неотрицательными
коэффициентами. Конус с вершиной в начале координат называется рациональным, если он может быть порожден конечным множеством векторов с целыми координатами. Скелетом рационального конуса называется множество всех примитивных (не кратных) целочисленных векторов в гранях размерности 1. Оче-Рис. 66. видно, что скелет конуса порождает сам
конус.
Пример. Конус, изображенный на рис. 66, является рациональным. Его скелет составляют векторы (3,1), (1,2).
Рациональный конус называется симплициальным, если линейно независимы векторы, составляющие его скелет.
Кратностью симплициального конуса старшей размерности п называется индекс подрешетки, порожденной векторами скелета, в целочисленной решетке пространства. Очевидно, что кратность конуса равна 1 тогда и только тогда, когда его скелет образует базис целочисленной решетки пространства. Более того, если кратность больше 1, то конусу принадлежит целочисленный вектор, являющийся такой линейной комбинацией векторов скелета, в которой все коэффициенты неотрицательны, меньше 1 и хотя бы один коэффициент не равен 0.
Пример. Конус, изображенный на рис. 1, симплициален (все двумерные рациональные конусы симплициальны). Кратность конуса равна 5.
Задача. Докажите, что кратность конуса равна модулю определителя, составленного из координат векторов скелета.
Веером называется конечное множество рациональных конусов, обладающих свойствами:
а) каждая грань конуса из множества тоже принадлежит множеству;
б) пересечение любых двух конусов из множества является гранью каждого из них:
