Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
105
= 2 (—1)" dim Cq (X; С) для обычной эйлеровой характеристики,
ч
для эквивариантной эйлеровой характеристики имеет место формула to {X) = 2(-1)" [Cq (X; С)].
ч
Известно (см., например, [90]), что элемент [V] из кольца R (G) комплексных представлений группы G определяется своим характером [V] (g) = trTg\v как функцией на группе G (tr j ^—след оператора Tg [ v). Если X—клеточный комплекс с действием группы G, согласованным со структурой клеточного комплекса, то значение Xa(x)(S) характера элемента %а (X) ? R (G) на g?G совпадает с (обычной) эйлеровой характеристикой I(Xg) множества Xg неподвижных точек действия элемента g на пространстве X. Это вытекает из того, что вне множества Xg элемент g переставляет клетки, и поэтому эти клетки дают нулевой вклад в tr (g. (Cq (Fe; €)). Клетки же, лежащие в Xq, остаются на месте и дают в tr (g. I Cq (Fe; €)) единичный вклад.
Отсюда следует
Теорема 2. Характер эквивариантной эйлеровой характеристики неособого многообразия уровня особенности f определяется формулой %0 (Fe) (g) = 1 + (— 1 Ys-1 [Ag., где dg — размерность подпространства пространства С", на котором элемент g ?G действует тривиально, —кратность ограничения функции f на это подпространство.
Кратность цг определена, поскольку, если функция / имеет изолированную критическую точку в нуле в пространстве С", то и на подпространствах, неподвижных относительно элемента g?G, она также имеет изолированные критические точки,.
Следствие. Характер естественного представления группы G на пространстве гомологий H = Нп_1 (Fe; С) неособого многообразия уровня определяется формулой [//] (g) = (—1)п~аец„.
Если G—конечная подгруппа унитарной группы U (п), порожденная отражениями, то Cn/G sa Cn. Росток f: (С", 0)—>-(€, 0), инвариантный относительно действия группы G, определяет росток U на (CnIG, 0)ss(C» 0).
Теорема 3 ([235]). р, (/.) = --^(-Iy-dSvLgi где \ G\-коли-
11S ее?
чество элементов в группе G.
Пример. Пусть G =Z2—группа из двух элементов, действующая на пространстве С" с координатами X1, ..., х„ по формуле а (хх, ..., хп) = (— X1, Jt2, . . ., хп) (ст ? Z2-неединичный элемент группы). Изоморфизм пространства CnIZ2 с пространством Cn с координатами уг, ..., уп определяется формулами ух = х\, уt = X1 при 2 ^ і ^ п. В этом случае | G | = 2, подпространство пространства Cn, инвариантное относительно преобразования ст, совпадает с (п—1)-
мерным пространством {^==0}. Теорема 3 дает р. (/„) = ^f 0а (Ї) — 96
топологическое строение
[гл. j1
— р (/ I ^1 = Ol), где ja (/ I Ixl = Oj)—кратность ограничения ростка / на подпространство {^ = 0}. Нетрудно видеть, что /| I^1 = 0} = = М<0і = <Н- Поэтому іг(/) = 2р.(/.) + и<М{Л = 0»-
Рассмотрим действие группы Z2 в группе гомологий Я„_1 (V8; R) неособого многообразия уровня функции /. Группа Z2 имеет два неприводимых вещественных представления: тривиальное и умножение на (—1). Поэтому группа гомологий Hn_1(Ve; IR) распадается в прямую сумму Я+фЯ~, где H+—пространство инвариантных относительно инволюции с, циклов, а Н~—антиинвариантных; dim Я+ + dim Я" = р (/).
Следствие из теоремы 2 дает [Я] (a) = dim Я+ — dim Я" = = —р,(/| Ijc1 = OI) = — f*(M I^Z1 = 0}). Так как dim#+ + dim#- = = 2р. (/«) + р (/• \\Уі = 0}), то dim Я+==(1(/.), dim Я-= ц (f.) +
+ р(М =
Эти формулы могут быть доказаны и непосредственно (без использования теорем 2 и 3), что может быть упражнением для читателя.
Классификация особенностей функций, инвариантных относительно такого действия циклической группы Z3, совпадает с классификацией особенностей функций на многообразии с краем (см. ОДО-1, § 17). Классификация особенностей малой коразмерности функций, инвариантных относительно действия группы (Z2)I (интерпретируемая как классификация особенностей функций на многообразии с «углами»), рассматривалась, в частности, в [218].
5.2. Особенности функций на многообразии с краем. Здесь будут вкратце изложены аналоги некоторых обсуждавшихся понятий для особенностей функций на многообразии с краем. Более подробное изложение и мотивировку введения соответствующих понятий можно найти в [8].
Пусть /—особенность функции на многообразии с краем (см. ОДО-1, § 17). Это означает, что / — росток голоморфной функции (С", 0) —* (С, 0) на комплексном векторном пространстве С™, в котором зафиксирована гиперплоскость С"-1, причем как на пространстве Cp1 так и на подпространстве Cn-1 функция / имеет изолированную критическую точку в нуле (или вообще не имеет критической точки в нуле в пространстве С"). Можно считать, что гиперплоскость С"-1 задается уравнением X1 = O, где X1, ...,хп—координаты на пространстве С".
Пусть С"—двулистное накрытие пространства С", ветвящееся вдоль гиперплоскости С«"1. Если Sc1, ..., хп—координаты в пространстве С", то разветвленное накрытие Cn определяется формулами X1 =xf, X2=X2, ..., Xn = хп. На пространстве С" имеется естественная инволюция (?, х2, ..., хп) (—X1, х2, ..., х„), т. е. определено действие циклической группы Z2 второго порядка. Ростку / отвечает росток Jfxl, X2, ..., xn) = f(x\, X2, ..., хп) функции на пространстве С", который инвариантен относительно §5]
