Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
формы пересечении краевых особенностей
103
ными, циклы Д^ + Д2—инвариантными относительно действия инволюции ст. Набор циклов |Дг-, А}}- совпадает с описанным выше.
Таким образом, для краевых особенностей определена целочисленная решетка Н~ с формой пересечений на ней. Базис решетки Н~, построенный по системе путей \uh и)}, соединяющих критические значения Zi и z'j функции / с некритическим значением г0, содержит (X0 «длинных» исчезающих циклов Ai (= A^—Af') и «коротких» исчезающих циклов А}. Если количество переменных п = 3 mod 4, то (At- оА;) = —4, (А; о А}) = —2.
На решетке Н~ действует группа монодромии, являющаяся образом естественного представления ях(С—{z;, z]\) —>- Aut Я-фундаментальной группы дополнения к множеству критических значений функции f. Группа монодромии порождена операторами монодромии, отвечающими простым петлям Ti- и x'j, соответствующим путям Ui и и). При этом простой петле x'j соответствует обычный оператор Пикара—Лефшеца h) (о) = о + {— 1 )п <п +1^2 (а о A'j) А-, а петле Xi—оператор Пикара—Лефшеца Hi(а) = а + (—IyjC* + 1)/2х X (а о А,-) Д,-/2. Заметим, что индекс пересечения (а о Ai) антиинвариантного цикла а ? Н~ с длинным исчезающим циклом Aj- всегда четен. При количестве переменных /isl mod 2 операторы /г,- и h'j являются отражениями в гиперплоскостях, ортогональных (в смысле формы пересечений) исчезающим циклам Ai и Д} соответственно.
Для краевых особенностей, как и для обычных, определены миниверсальная деформация и бифуркационные диаграммы множеств и функций. Миниверсальная деформация краевой особенности /1 x1 может быть задана в виде
F (х, X) = f (х) + 2 ХіФі (х) (х ? U\ X = (X1, ..., Xje С«1),
I=I
где ростки ф1( ..., Cpix порождают базис векторного пространства
„6 I (^x1 ^jp, J— , . . ., . Множество (точнее, его росток в нуле)
значений параметров X = (X1, ..., Xli) в базе миниверсальной деформации, для которых либо соответствующая функция F.(-, X), либо ее ограничение на край С"-1= \хг = Oj- имеет нуль критическим значением, называется бифуркационной диаграммой множеств краевой особенности /Ix1 (и обозначается 2). Условие, выделяющее значения параметров X ? 2, может быть заменено на эквивалентное условие, состоящее в том, что нуль является критическим значением функции
F (xlt х%, . . хп, X) = F (xf, х3, . . ., хп, X).
Бифуркационная диаграмма множеств краевой особенности приводима. Она является объединением двух компонент. Первая 96
топологическое строение
[ГЛ. j1
состоит из тех значений параметров X, для которых функция F(-, X) имеет нуль критическим значением, а вторая—из тех значений Я, для которых ее ограничение на край С"-1 имеет нуль критическим значением. Иногда удобнее бывает говорить, что вторая компонента состоит из тех значений Я, для которых гиперповерхность {х: F (х, Я) = OJciCn не трансверсальна к краю С"-1. Такая формулировка не требует специальных оговорок для случая п = 1.
Из того, что бифуркационная диаграмма множеств обычной особенности неприводима (теорема 2, п. 3.2), следует, что каждая из описанных компонент бифуркационной диаграммы множеств краевой особенности неприводима. Так же, как в теореме 4 п. 3.2, отсюда выводится, что группа монодромии краевой особенности транзитивно действует на множествах коротких и длинных исчезающих циклов (не перемешивая, конечно, их между собой).
Для простых краевых особенностей Bk, Ck, Fi (ОДО-1, § 17) бифуркационная диаграмма множеств может быть получена способом, описанном в п. 3.3 для обычных особенностей функций. Это означает, что она биголоморфно эквивалентна многообразию нерегулярных орбит соответствующей группы, порожденной отражениями, действующей на комплексификации евклидова пространства. При этом зеркала двух типов (ортогональные к длинным и коротким корням соответственно) порождают две компоненты бифуркационной диаграммы множеств простой краевой особенности.
Покажем, как это проверяется для простых особенностей типа Bk(f (X1) = Xi, п — 1) и Ck(f(xх2) = х1х2 + х%, п = 2). Их минивер-сальные деформации могут быть заданы в виде
^7 = ^1 + ^4*?-1+ ... +Xk для Bk, F = X1X2 +х*+ X1X^r1 + ... +Xk для Ck.
И в том и в другом случае нуль не является критическим значением функции F (¦, X), если многочлен Xfe-Jf-X1Xk'1+ ... +Xk не имеет кратных корней, локальное многообразие уровня функции F(•, Я) трансверсально к краю {^ = 0}, если нуль не является корнем этого многочлена. Таким образом, бифуркационные диаграммы множеств особенностей Bk и Ck отождествляются с пространством многочленов вида х* + X1Xk'1 + ... + Xk, имеющих кратные либо нулевые корни.
Группы Вейля Bk и Ck одинаковы. Они состоят из преобразований пространства Rft (или его комплексификации Cfe), являющихся перестановками координат с произвольными изменениями их знаков. Зеркалами являются гиперплоскости Zi = O и -Zi= ± г}. В одном случае первые из них соответствуют коротким циклам, а вторые—длинным; в другом—наоборот. Пространство орбит действия группы Вейля на комплексификации Cft отождествляется с пространством многочленов степени k вида хк + Х1хк~1 + ... +Xft (с комплексными коэффициентами), если точке (Z1, zk) ^ Cr сопоставить многочлен с корнями z\, ..., z%. Пространство много- §5]
