Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
формы пересечении краевых особенностей
103
Рис. 48.
членов степени k изоморфно 6-мерному комплексному векторному пространству. Пространство нерегулярных орбит (т. е. образ объединения зеркал при отображении факторизации) состоит из многочленов с кратными, либо нулевыми корнями, т. е. совпадает с бифуркационными диаграммами множеств особенностей Bh и Ск.
Бифуркационные диаграммы множеств особенностей B2 и C2 состоят из двух кривых Я2 = 0 и 4Х2 = Я! (рис. 48).
Описание базисов из исчезающих циклов и формы пересечений для простых краевых особенностей (и для других краевых особенностей двух переменных) может быть получено методами § 4. Можно показать, что для краевых особенностей имеются аналоги теорем 1, 3 и 4 § 4, однако мы не будем на этом останавливаться. Для простых особенностей Bft (± xk ± У2), Ck (ху ± ук) и F4 (± xa+f/3) соответствующие эквивариантные ростки функций на накрытии C2 пространства C2 задаются формулами f(x, у) = х** -+- У* для Вк, у) = У(х*— У"'1) для Ck и f(x, у)= х*+ у* для Fi (выбор знаков произведен с таким расчетом, чтобы кривые {/ = 0} были вещественными). Как обычные ростки функций они имеют особенности типов A3k_lt Dk+1 и Ee соответственно. Легко построить
шевеления f ростков функций / (или ростков кривых {/—0}), которые бы удовлетворяли условиям теоремы 1 п. 4.1 и были бы инва-
вк(к-5)
Рис. 49.
риантными относительно инволюции, действующей на пространстве С®. В действительности этими свойствами будут обладать шевеления особенностей /I2ftel, Dk+l и Ee, использовавшиеся в § 4.
Соответствующие вещественные кривые {/ = 0} изображены на рис. 49. Пунктиром нанесена линия х = 0. Базис группы гомологий локального многообразия уровня особенности f(x, г/)-M2, описанный в теореме 1 п. 4.1, инвариантен относительно инволюции о: (х, у, 1)—> (—х, у, t), действующей на пространстве C3 в том смысле, что а,А =— А, если базисный исчезающий цикл А 96
топологическое строение
[гл. j1
соответствует критической точке функции f(x, у), лежащей на прямой \х = 0}, и OfA1 = A2, если A1 и As—базисные исчезающие циклы, соответствующие критическим точкам, расположенным симметрично относительно прямой {х = 0}. Отсюда сразу следует, что ZD-диаграммы особенностей Bk, Ck и Fi устроены так, как это д n n п показано на рис. 50. При этом пра-
* вила чтения этих диаграмм несколь-
ко отличаются от правил п. 2.8.
Ck (X-6J а=5еа>——в-о-о——о Стрелки на ребрах направлены от
вершин, соответствующих длинным , исчезающим циклам (с индексом само-
Рис 50 пересечения (—4)), к вершинам, соот-
ветствующим коротким исчезающим циклам (с индексом самопересечения (—2)). Индекс пересечения исчезающих циклов, соответствующих вершинам, соединенным ребром кратности k, равен 2k, если оба цикла длинные, и k—в противном случае (если оба короткие, или один из них длинный, а другой—короткий). Для диаграмм особенностей Bn, Ck и Fi, приведенных на рис. 50, это означает, что угол между исчезающими циклами, соответствующими вершинам, соединенным ребром кратности 1, равен 2я/3, а угол между исчезающими циклами, соответствующими вершинам, соединенным ребром кратности 2, равен Зя/4.
И. Г. Щербак показала, что переход от функции f (х, у) с краем -{х = 0} к функции f (х, у)-\-гх с краем {z = 0} определяет на множестве классов стабильно эквивалентных краевых особенностей инволюцию, переставляющую особенность в некраевом смысле и сужение на край.
5.3. Топология полных пересечений. Пустьf = If1 ..., fp): : (О, 0) —> (СР, 0)—росток аналитического отображения, определяющий полное пересечение с изолированной особенностью в нуле (п~^р, /,•:(€", 0)—>-(С, 0)). Это означает, что во всех точках ростка аналитического пространства = 0} (т. е. {х? С nZfl(X)=... — ~fp(-^) = 0}), кроме нулевой, отображение f имеет ранг, равный р, т. е. его дифференциал является эпиморфизмом, или, что то же самое, rk (BflIdxf) = р. Отсюда следует, что вне нуля пространство {/ = 0} является неособым (п—д)-мерным комплексным многообразием.
Аналогично лемме 1 п. 2.1 нетрудно показать, что существует такое р>0, что для всех 0<г^р сфера SrC=Cn радиуса г с центром в нуле трансверсально пересекается с многообразием jf = 0}. В этом случае для достаток- малых г = (гх, .... zp) ? О (JzII=^e0) пространство 1J = г\ будет тпансверсально пересекаться со сферой Sp. Пространство >f = z\, вообще говоря, не является неособым при 2=7^=0. Множество (точнее—росток) S тех Z^O (II z §^е0), для которых' пространство {f — z} имеет внутри шара §5]
формы пересечении краевых особенностей
103
Bp радиуса р с центром в нуле особые точки, называется дискри-минантным множеством отображения f. Нетрудно видеть, что при 2 ? 2 аналитическое пространство |/ = z} имеет внутри шара Bp только изолированные особенности. Из теоремы Сарда следует, что дополнение к множеству 2 всюду плотно в шаре {z:||z|K Для z<?2 (ijzike0) пространство Fz = {/ = г} П Bp= = {х € С": Jl X Ж Р> / (х) = zI является неособым (га—р)-мерным комплексным многообразием с краем {f = z}f| Sp. Для всех z (? 2, J г |К ео многообразия Fz диффеоморфны между собой. Они называются неособыми многообразиями уровня отображения f.
