Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
формы пересечении краевых особенностей
103
действия группы Z2. Локальному аналитическому автоморфизму пространства Си, сохраняющему подпространство С"~х, отвечает эквивариантный относительно действия группы Z2 локальный аналитический автоморфизм пространства С™. Таким образом, особенности функций на многообразии с краем естественным образом можно рассматривать как ростки функций J (X1, X2, . . ., хп), инвариантных относительно инволюции (X1, х2, .. ., хп) (—X1, х2, ... ..., JCn). Наоборот, каждому такому ростку отвечает особенность функции на многообразии С" с краем С™"1.
Особенности f функции на многообразии с краем можно сопоставить неособые многообразия уровня двумя способами. Самой функции f соответствует ее неособое многообразие уровня Fe = = {х 6 С": f (х) = є, IXI р[, являющееся (n— 1 )-мерным комплексным многообразием с границей (понимаемой в обычном вещественном смысле).Краю С"-1 соответствует (п—2)-мерное комплексное подмногообразие Fe =IjcgC"-1: / (х) = є, ||л:|1<р}—неособое многообразие уровня ограничения функции f на гиперплоскость Cn-1.
Из точной гомологической последовательности пары (FB, V'e)
-----Jfa-X (Уг) — Ha.t (V8) (Fe, V'e) Hn_2 (Ve)
— 0„-,(Ув)— ....
в которой Hk(Ve) = O при k Ф п—1, Hk(Ve) = 0 при &фп—2, следует, что Hk (F8, Fe) = 0 при k Ф п— 1, H„_t (Fe, Fe)—свободная абелева группа, размерность которой равна сумме кратностей критической точки функции f на пространстве С" и критической точки ее ограничения на пространство С"-1. Из общих теорем гомотопической топологии следует (по крайней мере при количестве переменных п > 2, когда пространство VjVe односвязно; для п = 2 доказательство еще проще), что факторпространство VjVe имеет гомотопический тип букета нескольких сфер. Количество р, = р, (^ | X1) этих сфер называется кратностью краевой особенности f (в обозначении зафиксирована сама функция и координата, обращающаяся в нуль на краю С™-1). Как показано, кратность р, (/1X1) краевой особенности равна сумме р-(/)+р-(/| [X1 = 0}) кратностей особых точек функции f на пространствах С" и Cn"1.
Базис в группе гомологий Hn_x (Fe, F^) может быть построен следующим образом. Пусть f—шевеление особенности f общего вида. Последнее означает, что функция f на пространстве С и ее ограничение f |с»-іна край С"-1 = Ix1=OJ являются морсовскими и, кроме того, критические значения функций f и /1 Jx1 = 0} различны. В частности, функция J не имеет критических точек, лежащих на гиперплоскости Ix1 = OJ. Пусть /л (f) = Ho, fi(/j Ix1= 0})=^, Z1, ..., Z14—критические значения функции /в окрестности нуля в пространстве С", г'и ..., Ztfli—критические значения ограни- 96
топологическое строение
[гл. j1
чения функции f на подпространство С"-1 = {хг = 0}, Z0—некритическое значение функций/и\хг=0}. Пусть FZo=\x?Cn:J (х)=г0, IX И р j и /7Z0 = Fzo П = 0}—неособые многообразия уровня функций / и / I Ix1 = 0}. Как и для обычных особенностей функций, при выполнении естественных ограничений пара многообразий (Fga, FzJ диффеоморфна паре (Fe, Vi,). Если и—путь, соединяющий некоторое критическое значение Zi функции f с некритическим значением Z0 (и не проходящий через критические значения функций / и JWx1 = 0}), то, как и раньше, ему соответствует исчезающий цикл Д в группе гомологий Ha-x(Fz) неособого многообразия уровня функции /, изоморфной группе гомологий #„_! (Vre) неособого многообразия уровня функции /. При этом, поскольку путь и не проходит через критические значения функции J| Ix1=Oj, поднятие гомотопии 1i—» и (і) до гомотопии слоя может быть выбрано так, что оно сохраняет подмногообразия Faib П ^jc1 = 0}. В этом случае цикл А целиком лежит вне подмногообразия Fz п Ciix1 = O].
Из точной последовательности пары (Ve, Fe) следует, что естественный гомоморфизм /»: Нп_х (F8) —>- Нп_х (Fe, V'e), индуцированный вложением Fb с_» (Fe, Fe), является мономорфизмом. Поэтому пути и отвечает исчезающий цикл в относительных гомологиях Нп_1 (FB, Fe) неособого многообразия уровня по модулю подмногообразия Ix1=O)..
Если U-путь, соединяющий критическое значение z'j функции
Ix1 = OI (не являющееся критическим для функции J) с некритическим значением Z0 (и (O) = Zj, и (I) = Z0) и не проходящий через критические значения функций J и Jі |хг = 0}, то ему соответствует исчезающий «полуцикл» А' ? Нп_х (F81 Fe), определяемый следующим способом. Пусть pf 6 Cn-1—критическая точка функции /Ijx1 = Oy, J(P1l) = Zi. Можно показать, что в окрестности точки р] локальной заменой координат, сохраняющей гиперплоскость Ix1=Oj,
_ __ п
функция J может быть приведена к виду/ = — X1+ 2 x| + z'-. Без
ft=2
потери общности можно считать, что г] = 0 и что для малых t и (t) — t. В этом случае для малых t > 0 на неособом многообразии уровня Fuin = {/ = t\ имеется (п—1)-мерное вещественное подмногообразие Dn~x (t) с краем, определяемое соотношениями
п п
Imxft = O (k=l, 2, ..., ri), 2 xi^t, Xi=* Л —0 (см.
ft = 2 ft= 2 рис. 47 для п = 2). Многообразие Dn'1 (t) диффеоморфно (п—1)-мерному шару. Его граница ((п—2)-мерная сфера) лежит на подмногообразии Fa {і) П {^1 = 0}. Изменение f от 0 до 1 определяет непрерывное семейство (п—1)-мерных дисков Dn~1(t)czFa(i), для которых S"-2 (t) = dDn~l (t) с: Fa (f) П Ix1 = Oj для всех значений *€[0, 1]. При этом = Диск D"-1 (l)<=Fga §5] формы пересечении краевых особенностей
