Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
4.3. Разрешение особенностей функций двух переменных и построение их вещественных шевелений. Разрешение особенности функции f: (С2, 0)—H-(С, 0) (или кривой {(х, у): f (х, г/) = 0|) может быть построено при помощи последовательности а-процессов.
Рассмотрим комплексное векторное пространство С" и точку 0 на нем. о-процесс с центром в точке 0—это отображение а: П" —э-С" я-мерного комплексного многообразия П", которое устроено следующим образом: вне прообраза точки O^Cra отображение а является аналитическим изоморфизмом, прообразом о""1 (0) точки 0 является (п—1)-мерное комплексное пространство CPn-1 (проек-тивизация пространства С"), которое подклеено к дополнению П"—о-1 (0)?? С" — 0 так, что прямая в пространстве С", проходящая через нуль, примыкает к той точке проективизации CPn'1 пространства С", которая ей соответствует. Таким образом, многообразие Пл получается из пространства С" вклеиванием вместо точки 0 (л.—1)-мерного проективного пространства CPn-1.
ст-процесс с центром в нуле в пространстве С" может быть 96
топологическое строение
[гл. j1
описан следующим образом. Пусть (С"—0) —> CPn-1—отображение проективизации, сопоставляющее каждому ненулевому вектору из пространства С" прямую, порожденную им. Рассмотрим график этого отображения как подпространство произведения CnxCP"-1. Он не является замкнутым подмногообразием пространства CxCPra-1. Однако можно показать, что его замыкание П" является неособым «-мерным замкнутым подмногообразием произведения CnXCPn-1. Естественная проекция IIraC*. Cn X XCPri-1—»-С" является взаимно однозначным отображением вне нуля пространства Cra. Прообразом нуля является проективное пространство OxCP"-1. Отображение ГІ"—* Cn является а- процессом с центром в нуле в пространстве Cra.
Другое (координатное) описание многообразия П"—следующее. Пусть JC1, —, хп—координаты в пространстве С", U1: ...:«„ — соответствующие однородные координаты в комплексном проективном пространстве CP"-1. Пусть П"—подпространство в произведении С"XCP""1, заданное уравнениями XiUj = UiXj (1 ^ i, j ^ «), (xit хп) Є С", (U1: ...: ип) ? CPn-1. Ниже будет показано, что П" является «-мерным многообразием. Обозначим через в: П" с.» C4 х XСPn-1—,С " проекцию на первый сомножитель. Если х= = (*!, ...,хп)ф0, то прообраз ст-1 (х) точки х€.С" состоит из одной точки (X1, . .., хп; X1: ... :х„). Поэтому вне прообраза точки OgC" отображение а устанавливает изоморфизм Л"—ст-1(0)—* —J-Cn—0. Прообразом точки OgC" является пространство Ox X СPn"1, изоморфное проективному пространству CPra-1.
Пусть L—прямая в пространстве С", проходящая через точки 0 и (х°, ...,хп). Она состоит из точек вида (tx\, ..., txn) (t? С). Прообраз a-1 (L—0) прямой L без точки 0 состоит из точек произведения CnXCP"-1, имеющих вид (tx\, ..., txan\ х\: .. .: (і=ф0). Поэтому замыканием пространства o~l(L — 0) является прямая {(tx^.....tx%\ х\: ... :х%)} cz С"хСP"-1. Эта прямая проходит через точку (0, ...,0; х\: ... :хп) прообраза о-1 (O)=Ox XCP"-1, соответствующую прямой L.
Чтобы показать, что пространство П" является неособым комплексным многообразием, рассмотрим его в окрестности точки (0, ...,0, и\: ... :ы») Є CnXCPn-1. Пусть, например, и\ф 0. Поскольку u1: ...: ип-—однородные координаты в пространстве CP"-1, можно считать, что а®=!. Пусть C1-1 с CP"-1—аффинная часть проективного пространства CP"-1, заданная условием u1 = I. В части С"X CJ-1 произведения CraX CP"'1 пространства Пп может быть задано уравнениями Xj = X1Uj (j = 2, . .., «). Отсюда видно, что пространство П" п (Cn х С?-1) изоморфно «-мерному комплексному векторному пространству с координатами X1, и%, ..., ип и поэтому неособо. Из уравнений, определяющих пространство П", вытекает, что в части, определяемой условием u1 = 1, координаты u2, ..., ип выражаются через координаты X1, . . ., хп в пространстве С" по формулам Uj = XjjXi (/==2, ...,«).
§ 43 матрицы пересечений особенностей
101
Нетрудно показать, что описанная конструкция не зависит оТ выбора координат X1, . . ., хп в пространстве С'"1 и поэтому применима к любому комплексно-аналитическому пространству и его неособой точке. Для доказательства надо проверить, что любой локальный комплексно-аналитический изоморфизм (С", 0) —»-—+ (Сп, 0) поднимается до комплексно-аналитического изоморфизма jJn—> П" в окрестности прообраза cr-1 (O) = CP"-1.
Пусть теперь я = 2, f: (С2, 0)—»-(С, 0)—росток голоморфной функции, имеющей изолированную критическую точку в нуле, = [(х, у): f(x, у) = Of — росток комплексно-аналитической кривой в пространстве С2. При сопроцессе о: П2—J-C2 с центром в нуле вместо точки 0 ? C2 вклеивается проективная прямая CP1 с: П2 с координатами (и: v). В этом случае композиция / о а является голоморфной функцией на окрестности пространства «г-1 (0) в многообразии П2. Функция / о а будет, вообще говоря, иметь неизолированные критические точки. Она обращается в нуль на вклеенной проективной прямой Cp1 а П2, причем прямая CP1 входит в дивизор {f осг = 0} с кратностью, равной степени т ростка f: (С2, 0)—> (С, 0). Это означает, что в окрестности точки (1:0)? ? CP1 с П2, заданной условием и = 1, функция ff о о имеет вид f о O = Xf- g, где gx не обращается тождественно в нуль на вклеенной проективной прямой CP1. Степень т ростка f—это наименьшая из степеней мономов, входящих в разложение f с ненулевыми коэффициентами. Аналогичное соотношение (f°o—t/"-g2) имеет место и в окрестности точки (0:1) ? CP1 с П2, заданной условием u=l. Поэтому в качестве особенностей функции f о о надо рассматривать не все те точки, в которых ее дифференциал обращается" в нуль. Таких точек слишком много и среди них большинство—такие, в окрестности которых функция f о of эквивалентна функции хт. Надо учитывать только точки, в которых функция gt (или g2) обращается в нуль. Однако gt (или g2)— это функция на части многообразия П2, определяемой условием необращения в нуль одной из координат. Определить ее на многообразии П2 инвариантным способом невозможно (не рассматривая ее как сечение некоторого расслоения).
