Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть f (х, у) — росток вещественной (т. е. принимающей вещественные значения на R2 с С2) голоморфной функции (С*, 0)— —>-(С, 0), имеющий в нуле изолированную (в пространстве С2) критическую точку. Предположим, что существует такое вещественное шевеление f функции /, что все ее критические точки (на которые распадается критическая точка 0 функции f) вещественны и невырождены, а значения функции f во всех седловых точках равны нулю. Нетрудно видеть, что в этом случае значения функции J во всех минимумах отрицательны, а во всех максимумах — положительны. Если такое шевеление существует, то матрица пересечений особенности / может быть определена по вещественной кривой \f(х, у) = 0} в плоскости IR2. Для того чтобы сформулировать соответствующий результат, введем некоторые определения.
Пусть в (открытом) круге D в плоскости R2 задана (вещественная) кривая I (замкнутая в топологическом смысле), имеющая в качестве особенностей только простые двойные самопересечения в конечном числе и трансверсально подходящая к границе круга D. Кривой I сопоставляются симметрическая и кососимметричеекая целочисленные билинейные формы на решетке по правилам, описанным ниже.
Каждая связная компонента дополнения кривой I является криволинейным многоугольником. При этом у такого многоугольника некоторые пары вершин могут совпадать (как на рис. 32). § 43
матрицы пересечений особенностей
101
Разобьем множество компонент дополнения кривой I на два класса (первый и второй) так, чтобы две компоненты, имеющие общую сторону, относились бы к разным классам. Такое разбиение на два класса возможно и единственно с точностью до перестановки классов. Сопоставим каждой точке ру- самопересечения кривой I формальную образующую А), каждой относительно компонентной в D (т. е. не граничащей с дополнением D) компоненте дополнения кривой I из первого класса (U0i)—формальную образующую А", а из второго класса (U%)—формальную образующую Ag. Обозначим через п10(}, І) (аналогично nsi(k, j)) количество вершин криволинейного многоугольника U0i (соответственно Ul), совпадающих с точкой Pj- пю ІІ' О и nHi Ф-> !) могут принимать значения 0, 1 или 2. Через n20(k, і) обозначим количество общих сторон криволинейных многоугольников^и U0i-Так, например, на рис.32 лао=1, п10 = 2, л21 = 1 (i = j = k — 1).
Натянем на образующие {AJ,} целочисленную решетку и будем считать базис Ag, A), AJ отмеченным базисом этой решетки (порядок^ элементов А" с одинаковым 0 несуществен). Разбиение компонент дополнения кривой I на два класса используется только для фиксирования порядка элементов Agl в отмеченном базисе.
Определение. Квадратичная форма, соответствующая кривой I, определяется следующей таблицей скалярных произведений образующих:
(Ag1 о Д®.) = —2omOT', (А? о А}) = п10 (/, І),
(А) о А%) = n21 (k, /), (A4 о А%) = -/I20 (k, і).
Определение. Кососимметрическая билинейная форма, соответствующая кривой I, определяется следующей таблицей ска-
/ в лярных произведений (совпадение обозначений с і предыдущим определением не создает путаницы):
1 (Д?оД&,) = 0, (А) о А®) = «10 (/, І),
IЛг (Ag о A}) = пlt (ft, /), (AJ о Ag) = n20 (k, І)
Рис. 33. (здесь при перестановке аргументов скалярное произведение меняет знак).
D-диаграммой кривой і мы будем называть D-диаграмму соответствующей квадратичной формы. Ее вершины соответствуют самопересечениям кривой I и относительно компактным в D компонентам дополнения кривой I. Правило соединения вершин следует из таблицы индексов пересечений. Например, на рис. 33 изображена D-диаграмма кривой рис. 32. Заметим, что эта диаграмма не является D-диаграммой никакой особенности.
Пусть f—шевеление особенности /, описанное выше, т. е. такое, что все критические точки функции / (на которые распадается 96
топологическое строение
[гл. j1
логий неособого множества уровня Va, х ростка /0. При этом отмеченный базис группы Нп_г (V*, х; Z) может быть расширен до отмеченного базиса группы Нп_х (F0, х\ Z).
Теорема 24 ([220]). Для любой особенности + (ла четно.
Из этих результатов выводится
Теорема 25. Квадратичные формы всех бимодальных особенностей имеют следующие индексы инерции: [л+ = 2, р,0 = 0.
§ 4. Матрицы пересечений особенностей функций
двух переменных
Метод вычисления матриц пересечений особенностей функций двух переменных, описанный в этом параграфе, принадлежит С. М. Гусейн-Заде ([51], [52]) и Н. А'Кампо ([119], [120]). Он применим ко всем особенностям двух переменных. Его использование позволяет существенно упростить многие вычисления, связанные с квадратичной формой особенности (например, вычисление ее сигнатуры).
4.1. Матрицы пересечений вещественных особенностей. Матрица пересечений вещественной особенности функции двух переменных f может быть определена по (вещественной) линии нулевого уровня шевеления функции / специального вида.
Пусть f(x, у)-— росток вещественной (т. е. принимающей вещественные значения на IRaCrC2) голоморфной функции (С*, 0)—>-—у (С, 0), имеющий в нуле изолированную (в пространстве С2) критическую точку. Предположим, что существует такое вещественное шевеление / функции /, что все ее критические точки (на которые распадается критическая точка 0 функции /) вещественны и невырождены, а значения функции / во всех седловых точках равны нулю. Нетрудно видеть, что в этом случае значения функции f во всех минимумах отрицательны, а во всех максимумах — положительны. Если такое шевеление существует, то матрица пересечений особенности / может быть определена по вещественной кривой {f(x, t/) = 0} в плоскости IR2. Для того чтобы сформулировать соответствующий результат, введем некоторые определения.
