Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ 4 ^12? + 5 1 P-Ч-. г Unk Uk, 2д-І U k,2q (9 > 0) U 12k-Y і 2, 4ft+/?, 4ft +4ft 2, 4ft+1, 4ft, 4ft+1 2, 4ft+1, 4ft+1, 4ft+1 p—1, ?-1, r—l, 2 3ft, 3?, ЗА, 3ft 3ft+<7, 3ft+<?, 3ft, З/г+1 3ft+ 9+1, 3ft+V, 3ft, 3ft+I 3? + l, 3ft+l, 3ft+l, 3ft+l 96 топологическое строение
[гл. j1
Для особенностей коранга 2 (т. е. для особенностей из серий Jy Е, X, Y, Z и W) аналогичные диаграммы могут быть легко получены методами § 4.
3.8. Формы пересечений унимодальных и бимодальных особенностей. В § 15 ОДО-1 приведена классификация унимодальных и бимодальных особенностей функций. Здесь мы приведем результаты об их квадратичных формах.
D-диаграммы унимодальных особенностей и их группы монодромии были вычислены А. М. Габриэловым [38]. Они могут быть получены с помощью результатов, изложенных в п. 3.7. Обозначим через [.і+, (A0 и положительный, нулевой и отрицательный индексы инерции квадратичной формы особенности, т. е. количество положительных, нулевых и отрицательных диагональных элементов в диагонализации формы пересечений особенности, стабильно эквивалентной данной и зависящей от п == 3 mod 4 переменных + + Ho + fA_=fi).
Теорема 21. D-диаграммы параболических особенностей P8, X9 и J10 в некоторых отмеченных базисах имеют вид:
А" ' ~
Для этих особенностей р,+ =0, р0 =2.
D-диаграммы гиперболических особенностей Tp^ ^ г имеют вид:
P 7
71
Для этих особенностей = р.0 = 1.
D-диаграммы 14-ти исключительных унимодальных особенностей имеют вид:
н і
Здесь (k, I, т.)—так называемые числа Габриэлова особенности (см. ОДО-1, введение к главе II), fг = ?-М + т. Для этих особенностей u+ = 2, |ло = 0. §3) бифуркационные диаграммы
85
Между числами Габриэлова (ЧГ) и числами Долгачева (ЧД; см. ОДО-1, введение к главе II) исключительных унимодальных особенностей существует «странная двойственность», выражающаяся в том, что ЧГ каждой особенности совпадают с ЧД некоторой (вообще говоря—другой) особенности, а ЧГ последней—с ЧД исходной. Объяснение этой двойственности дано Долгачевым и Пинкамом ([57], [201]). Оказывается, что ЧД квазиоднородной унимодальной особенности в некотором смысле являются ее ЧГ на бесконечности и наоборот.
Квадратичные формы и D-диаграммы бимодальных особенностей от двух переменных и их индексы инерции могут быть легко получены методами § 4. Для бимодальных особенностей трех переменных D-диаграммы получены А. М. Габриэловым (см. п. 3.7), но они неудобны для вычислений, например, индексов инерции их квадратичных форм. Индексы инерции квадратичных форм всех бимодальных особенностей могут быть получены с помощью двух общих результатов, принадлежащих Стинбринку. Один из них дает способ вычисления индексов инерции квадратичных форм для квазиоднородных особенностей.
Пусть /: (Сп, 0)—+(С, 0) (п = Smod4)—квазиоднородная осо-
бенность с весами Wi, ..., Wn и степены іначает," что
f(xj, . . ., хп) = 2 • • • • . где , имеющая
изолированную критическую точку в нуле. Положим I (ос) =
= 2 («/ + 1) Wi (ос = (04, . . ., ос„)). Пустьгмономы Xa0* (/ = 1,2, . . .
..., р.) порождают базис локального кольца J = п6/(д[/дх;) особенности /. Через [с] обозначим целую часть числа с. Теорема 22 ([219]).
ц+-количество ос'/': I (а(у)) Z, [/ (а(/))] четна-, ц_-количество а^: I (а(/)) (? Z, [/ (а(у>)] нечетна-, р,0-количество «'/>: і (а(/)) ? Z.
Это утверждение в виде гипотезы было сформулировано ранее В. И. Арнольдом (см. [54]).
Среди бимодальных особенностей часть (но не все) имеют квазиоднородных представителей. Для этих особенностей теорема 22 дает fi+=2, (i0 = 0. Для вычисления индексов инерции квадратичных форм остальных бимодальных особенностей используются следующие факты:
Теорема 23 ([92]). Пусть ff(x)—непрерывная деформация особенности /0: (С", 0)—(С, 0) (zf ^ [0,1]), причем р- (/0) = H-, р (/<) = = р/ при Тогда р, ^= |л' и группа Нп_і(Уі,%-, Z) гомо-
логий неособого множества уровня Vt, % ростка функции ft около нуля имеет естественное вложение в группу 'Пп_1(у0і Z) гомо-
п 96
топологическое строение
[ГЛ. j1
логий неособого множества уровня F0, % ростка /0. При этом отмеченный базис группы Нп_1 (Vt, Z) может быть расширен до отмеченного базиса группы Пп_х (V0, х; Z).
Теорема 24 ([220]). Для любой особенности + четно.
Из этих результатов выводится
Теорема 25. Квадратичные формы всех бимодальных особенностей имеют следующие индексы инерции: = 2, |л0 = 0.
§ 4. Матрицы пересечений особенностей функций
двух переменных
Метод вычисления матриц пересечений особенностей функций двух переменных, описанный в этом параграфе, принадлежит С. М. Гусейн-Заде ([51], [52]) и Н. А'Кампо ([119], [120]). Он применим ко всем особенностям двух переменных. Его использование позволяет существенно упростить многие вычисления, связанные с квадратичной формой особенности (например, вычисление ее сигнатуры).
4.1. Матрицы пересечений вещественных особенностей. Матрица пересечений вещественной особенности функции двух переменных / может быть определена по (вещественной) линии нулевого уровня шевеления функции f специального вида.
