Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
IZ-
Рис. 44.
4.4. Частичная диагонализация квадратичной формы особенности. Уже говорилось, что возможность представления D-диа-граммы особенности функции двух переменных в виде D-диаграммы вещественной кривой позволяет существенно упрощать некоторые вычисления, связанные с соответствующей квадратичной формой (например, вычисление ее индексов инерции).
Индексы пересечений (формальных) исчезающих циклов, соответствующих вещественной кривой I (см. п. 4.1), связаны между собой соотношением специального вида. § 43
матрицы пересечений особенностей
101
Лемма 2. Имеет место равенство
2л20 (ik, і) = 2 л21 (k, /) п10 (/, г). і
Доказательство может быть получено из простых геометрических рассмотрений.
Вложим целочисленную решетку с базисом A®, Aj, Af в вещественное линейное пространство Rli с тем же базисом и продолжим квадратичную форму (х о у) на все пространство IRli. Определим в пространстве Rli новый базис Д°, Aj, А % по формулам Д°=Д°+
+т?(А?оА'>А/' А/ = А/' Д1 = Л1+4Х(А^0Д/)Д/- Пользуясь / _ _ і _ _ _ _ леммой 2, нетрудно проверить, что (Д° о Af) = (A2k о Aj) = (Д2оД?)=0. Кроме того, (AjoAj') = —28//'. Тем самым мы произвели частичную диагонализацию матрицы пересечений.
Нетрудно видеть, что (Д?оД?) = —i)f, (Д|оД|)=
=—2+Y^fn21 (ft, j)]. Отсюда следует, что, если среди областей, і
ограниченных кривой I (или кривой, получающейся из нее при помощи допустимой гомотопии), имеется хотя бы один четырехугольник, то ее квадратичная форма не является отрицательно определенной, а если среди них есть многоугольник с количеством сторон больше четырех, то она не является и неположительно определенной.
Продемонстрируем одно применение этой конструкции. Для квадратичной формы на решетке Zu- имеет смысл говорить о ее определителе, так как определитель замены базиса в целочисленной решетке равен ±1. Обозначим через D(J) определитель квадратичной формы, соответствующей особенности /. Определитель D (/) равен нулю, если отображение г,: Hn_l (Ve) —>¦ Нп_1 (Ve, dV8) групп гомологий, индуцированное, вложением Ve с» (Ve, dVe) (для особенности f(x, у) -f-12), не является мономорфизмом, и с точностью до знака равен порядку коядра Нп_г (V8, oVe)/Imt'% отображения г. в противном случае (матрица отображения t* и есть матрица пересечений особенности).
Теорема 5. Пусть f: (С2, 0)—»-(С, 0)—особенность функции двух переменных и г—количество неприводимых сомножителей, на которые может быть разложен росток функции f (т. е. количество неприводимых компонент у кривой {/ = 0}). Тогда D (f) делится на 2г~г.
В частности, если функция f приводима, т. е. г > 1, то отображение і* (для особенности f(x, у) + Ь) не может быть изоморфизмом.
Доказательство. В соответствии с теоремами 3 и 4 (п. 4.2) построим набор вещественных отображений tp,-: Ci—>- C2 (опре- 96
топологическое строение
[гл. j1
деленных в окрестности нуля) такой, что D-диаграмма кривой
fr _ \
( U Im cpf ) ft К.2 совпадает с D-диаграммой особенности /. Пусть V=,1 J
•{Ag,}—базис решетки, на которой определена квадратичная форма (х о у), соответствующая этой кривой. Количество самопересечений s кривой (и Im ф() П К-2 равно количеству базисных элементов А). Количество остальных элементов базиса (А? и А|) равно s—(г—1) (сравните с леммой 1 п. 4.2). Матрица перехода от базиса {Ag,} целочисленной решетки к базису {Ag,} пространства R11, описанному выше, имеет определитель, равный +1. Поэтому D (f) совпадает с определителем матрицы квадратичной формы особенности f в базисе {А„}. Этот определитель разлагается в произведение frpex определителей: |(Д?оД?,)|, | (Af о А%.) | и | (А} о Aj.) |. Последний из них равен (—2)s. Легко видеть, что индексы пересечений (А? о AJ,) и (А|оА|.) принадлежат множеству полуцелых чисел (1/2 Z). Поэтому І (Д? о А?,) I -_[(Д| о Al) (б г-*+''-1* ¦ Z, откуда следует, что D (/) = ±2* • І (А? о А?,) I • І (Д| о А|,) I принадлежит 2'-1Z, что и требовалось доказать.
Например, для особенности Ak (/ (х, у) = хк+1 + у2) определитель D (/) равен (— l)*(ft-f-l).
Приведем еще один пример применения частичной диагонализа-ции квадратичной формы особенности функции двух переменных.
Рассмотрим особенность функции / (х, у) — хь. +X2у2 -f- уъ. Она эквивалентна особенности функции (х3 + у2) X X (х2 + У3). Вещественное шевеление кривой {f(x, 1/) = 0}, имеющее только вещественные простые двойные самопересечения, изображено на рис. 45.
-3
Рис. 45.
-1 -1 Рис. 46.
Кратность особенности f равна 11. В базисе А°, определенном выше, квадратичная форма особенности/распадается в прямую сумму трех квадратичных форм. Одна изних—на шестимерном подпространстве, порожденном элементами AJ,— является отрицательно определенной. Вторая—на одномерном подпространстве, порожденном элементом А2, которому на рис. 45 соответствует четырехугольник U2,— является нулевой. Наконец, третья—на четырехмерном подпространстве, порожденном элементами AJ, ..., А% которым на рис. 45 соответствуют «одноугольники» и треугольники U1, . . ., U04. При этом (A01 о A01) = (A04 о A04) = —3/2, (А® о А®) = (Ag о Ag) = —1/2, §5]
